Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
tg 6 = ^, (22) а постоянная угловая скорость качения ф остается произвольной.
200 ГЛ. IX. ДВИЖЕНИЯ С КАЧЕНИЕМ. СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИ
Уравнение (22) выражает то обстоятельство, что при движении центр тяжести G остается на вертикали, проходящей через точку О, или, другими словами, что твердое тело сколь угодно долго сохраняет то положение, которое было бы положением равновесия, если
бы точка О была неподвижной (фиг. 26).
Уравнения (21), принимающие здесь вид
а = ¦
¦а?,
1 = 0,
подтверждают, что точка О действительно описывает прямолинейную траекторию с постоянной скоростью, которую.
располагая величиной ср, можно задать произвольно.
В случае диска (Z0 = 0) уравнение (22) дает Ь = п/2, т. е. диск остается перпендикулярным к опорной плоскости; таким образом оправдывается очевидная заранее возможность равномерного качения диска в вертикальном положении вдоль прямолинейного пути (с произвольной угловой скоростью).
12. Движение точки соприкосновения и центра тяжести в меро-статических движениях диска. Обратимся к произвольному меростатическому движению, т. е. исключим для ф значение нуль и, следовательно, для 6 значение, определяемое равенством (22). Из постоянства 'i следует, что = так что, интегрируя
уравнения (21), получим
« = «о — aT sin (І**+%)’ P = Po-T aT cos OK+«у*
(23)
где а0, P0 означают две произвольные постоянные. Таким образом, мы видим, что точка соприкосновения О во время движения твердого тела описывает на опорной плоскости окружность с центром в O0 (а0, р0)
и радиусом R0 = а [ <р/ф | с угловой скоростью ф. Отметим, что то же значение радиуса R0 можно получить также и более прямым путем, замечая, что в рассматриваемых меростатических движениях, при заданном отсутствии скольжения, должны получаться равные абсолютные значения R0 ] ф |, а|«р| скоростей, с которыми точка соприкосновения движется соответственно по опорной плоскости и по окружности С.
С другой стороны, в предположении постоянства угла наклона 6 очевидно, что гироскопическая ось во время движения описывает
§ 2. КРУГОВОЙ ТЯЖЕЛЫЙ ДИСК
201
конус вращения вокруг вертикали точки O0, так что центр тяжести G твердого тела описывает в свою очередь с той же самой угловой скоростью ф окружность в горизонтальной плоскости, центр которой находится на вертикали центра O0 окружности, описанной точкой О. При определении радиуса R этой круговой траектории точки G обратим прежде всего внимание на то, что он связан с линейной скоростью Ve центра тяжести соотношением
:з 2
R 1» =rOG,
далее, принимая во внимание, что количество движения Q равно количеству движения центра тяжести mv& (гл. IV, п. 12), получаем, пользуясь первыми тремя из выражений (18) и предполагая, что р = 0,
v% = (ar — z0qf.
Из полученных двух соотношений выводим
ar — Z0?
R =
ф
в частном случае диска (Z0 = 0) имеем
R = a г
13. Реакция- опоры. Благодаря выбору центра моментов в точке соприкосновения О второе основное уравнение (14) оказалось независящим от неизвестной реакции опоры Ф, и потому из него можно было определить все неизвестные величины задачи. После того как найдено какое-нибудь решение уравнения (14), можно приступить к определению соответствующей реакции, возвращаясь к первому основному уравнению. Это уравнение, принимая во внимание соотношение Q = mvQ (гл. IV, п. 12), можно написать в виде
dv г<
т -Jf = — tng* + Ф, (24)
где дифференцирование относится к неподвижным осям.
Обращаясь непосредственно к меростатическому движению (прецессионного характера в отношении ориентации), из уравнения (24) увидим, что, так как центр тяжести описывает равномерно окружность (в горизонтальной плоскости), равнодействующая (—mgy.-\- Ф) будет направлена к центру. Поэтому, обозначая через Niс вертикальную составляющую реакции Ф, направленную обязательно вверх (N > 0), и через А — горизонтальную составляющую (трение), получим, проектируя уравнение (24) сначала на вертикаль,
-N = mg;
202 ГЛ. IX. ДВИЖЕНИЯ С КАЧЕНИЕМ, системы с циклическими движениями
таким образом, в меростатическом движении, как и в случае равновесия, нормальная реакция уравновешивает вес тела. Если затем спроектируем уравнение (24) на горизонтальную плоскость, то найдем
отсюда, вследствие того, что г>0 = /?|ф|, будем иметь
А = тЩя.
С найденным для А выражением mv^/R можно связать замечание, по существу аналогичное замечанию, указанному в п. 4.
В предыдущем исследовании трение входило просто, как касательная реакция плоскости, что объясняется тем, что здесь достаточно только, чтобы оно препятствовало скольжению. Ho в действительности, так как при отсутствии скольжения в любой момент скорость точки окружности С, совпадающей в этот момент с точкою О, будет равна нулю, требуется также, чтобы удовлетворялся основной эмпирический закон статического трения Л <1/mg, так что должно быть
2
^<fg, (25)
где / обозначает коэффициент трения опорной плоскости.
Отсюда ясно, что на поверхности с заданным коэффициентом трения / рассматриваемые здесь меростатические движения физически возможны только при условии, что VqiIR достаточно мало. Таким образом, необходимо, чтобы, помимо угла наклона 9, была задана скорость Ve центра тяжести, или радиус R его траектории, причем или этот радиус должен быть достаточно велик, или скорость Ve должна быть достаточно мала. Так как случай диска, соответствующий предположению Z0 — 0, представляет собой схему, хотя и грубую, велосипеда, то понятно, что и для этого случая имеет силу аналогичное правило, которое подтверждается на опыте.
