Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
M = — OG X mgK, где X обозначает единичный вектор оси С (для которого имеем
VLk = Ъ).
9. Дифференциальные уравнения движения. Если спроектируем основное уравнение моментов (14) на стереонодальные оси Ох'у'г' и примем во внимание выражения (18), а также формулы (11), (12), (13), (15), то для гироскопического твердого тела с круговым основанием получим уравнения
AiP + Ч {Cir — B1 (г— ©)} — таг0 {q* — г (г — 9)} =
= mg (z0 sin 6 — a cos 0),
Bxq — maz0r-\-р [A1 (г — <р) — C1r~\-tncfi^\-\-maz0pq = 0, |
C1T — maz0q — (Al-B1)Pq-таг0 (г—у)р = 0, j
(19)
198 ГЛ. IX. ДВИЖЕНИЯ .С КАЧЕНИЕМ. СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИ
в которых A1B1C1 определяются через центральные моменты инерции при помощи формул (16).
В случае диска достаточно, как мы знаем, положить za = О, чтобы прийти к уравнениям
A1 P + q [Cf — B1 (г — <р} = — mag cos 0,
віЧ+р{А\(г— <р) — Cxr-Ar maty}= О, (19')
Cs-(A1-B1)Pq = О,
где, естественно, вместо формул (16) имеют место равенства
A1 = A+- та2, B1 = A, C1 = C+та2; (16')
если речь идет о диске в собственном смысле (т. е. о диске, толщиной которого можно пренебречь), то при С =2А имеем
A1 = -С+та2, B1 = -C, C1 = С+та?. (16")
Уравнения (19) или (19') вместе с равенствами
р =Ь, 9 = 4* sin 0, г = «р —^ cos 0, (20)
вытекающими непосредственно из формул (12), (13), представляют собой полную систему уравнений задачи, так как углы Эйлера 0, <р, <Sf .определяются в функциях от времени на основании дифференциальной системы (19), (20) или (19'), (20), а каждый из остальных параметров, характеризующих положение твердого тела, определится посредством двух дальнейших квадратур. Угол 0 между восходящей вертикалью и гироскопической осью дает в любой момент* наклон плоскости окружности С к плоскости опоры С = 0, а направление касательной к окружности С в точке соприкосновения О с опорной плоскостью определяется непосредственно углом »[». Что касается положения этой точки, то достаточно вспомнить, что ее скорость определяется формулой (15), чтобы получить соответствующие координаты а, P посредством двух квадратур из уравнений
а = — cosil), р = —a<psinty, (21)
в которых правые части являются теперь уже известными функциями времени.
10. Меростатические решения. В одном из следующих пунктов (п. 16) мы скажем несколько слов об общем интегрировании дифференциальной системы (19), (20), по крайней мере для случая диска. В этом же пункте, основываясь на тех же уравнениях, мы изучим более простой тип движений твердого тела гироскопической структуры с круглым основанием, к которому мы придем, предполагая постоянным угол наклона 0 плоскости окружности С к плоскости опоры,
§ 2. КРУГОВОЙ ТЯЖЕЛЫЙ ДИСК
199
т. е. полагая р = 0 = 0. Если обратимся прямо к более общим уравнениям (19), то из второго и третьего увидим, что при указанном предположении останутся постоянными также q и г и что, обратно, последние два уравнения будут тождественно удовлетворяться при при р = 0, q = const, г = Const. Поэтому речь идет о статических решениях по отношению к аргументам 0, q и г.
Точнее, если примем во внимание равенства (20), то увидим, что постоянными останутся также и <р, тогда как первое из уравнений (19) на основании (20) сведется к соотношению между постоян-• •
ными 0, <Р, <j>, из которого можно определить какую-нибудь одну из этих величин, когда будут заданы две другие.
Наконец, если, отвлекаясь от движения точки соприкосновения О по опорной плоскости, мы сосредоточим внимание только на ориентировке системы Ox'y'z' относительно неподвижной системы, то движение сведется только к регулярной прецессии вокруг вертикальной оси. Упомянутое только' что соотношение между 0, <р, <|», характеризующее эту регулярную прецессию, аналогично тому соотношению, которое мы имели в случае регулярной прецессии тяжелого гироскопа, закрепленного в одной точке (предыдущая глава, п. 37).
11. Прямолинейное движение (точки соприкосновения). Обращаясь к еще более частному случаю, посмотрим, возможно ли для нашего твердого тела такое движение, в котором при постоянном угле 0 точка О на опорной плоскости описывает прямую линию. Для того чтобы это имело место, необходимо и достаточно на основании уравнений (21), чтобы, помимо 0 и <р, оставался постоянным также и угол <{j, а это, если возможно, равносильно предположению, что регулярная прецессия, к которой сводится любое движение с постоянным углом нутации, становится просто равномерным вращением, если отвлечься от движения точки О.
Предполагая постоянным угол ty, можно без ограничения общности задать направление неподвижной оси & так, чтобы было «|/ = 0. Далее, соотношение, которое согласно предыдущему пункту должно
• •
быть между ПОСТОЯННЫМИ 6, <р, Iji = O и которое получается из первого из уравнений (19) посредством подстановки в него значений р = о, д = 0, г = <р, получающихся при настоящих предположениях из уравнений (20), приводится здесь к виду
mg (Z0 sin 0 — a cos 0) = 0.
Отсюда следует, что неизменный угол наклона 0 определяется из условия
