Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь же, имея в виду поставленную вначале цель, заметим, что, так как угловая скорость R Земли весьма мала по сравнению с начальным значением гй гироскопической угловой скорости, таким же будет в силу равенства (10) и разность между любым значением г и его начальным значением. Поэтому приближенно в первом уравнении.(9) можно подставить г0 вместо г, после чего, принимая также во внимание выражение для Rt, мы придем к уравнению
Ab — — Cr0R cos (0 -|-X) — mgl sin 0;
отсюда ясно, что задача имеет меростатическое решение 0 == const, в котором значение 0 угла 0 определяется равенством
. 0 cos X
tg 9 =-------
sin X ------rHsL.
Cr0R
Угловая скорость R (соответствующая одному обороту в 24 часа) настолько мала, что при больших значениях г0 (например, '100 оборотов в секунду) произведение r0R можно принять еще достаточно малым по сравнению с mgljC для того, чтобы знаменатель выражения, для tg 0 имел знак второго члена. Мы видим, таким образом, что 0 имеет знак, обратный знаку г0, т. е. отклонение гироскопической оси (направленной вниз) происходит к северу или к югу, в зависимости от того, будет ли гироскопическое вращение правым или левым. Отклонение будет тем ощутительней, чем больше будет при прочих равных условиях г о и чем меньше I.
18. Возьмем снова задачу предыдущего упражнения в предположении, что плоскость Jt благодаря связям остается вертикальной, но отличной от плоскости меридиана. Доказать, что:
1) какова бы ни была ориентировка вертикальной плоскости я, в ней для барогироскопа найдется положение кажущегося устойчивого равновесия (меростатическое решение 0 = const уравнений движения);
2) соответствующее значение 0 отклонения оси от вертикали, зависящее от ориентировки плоскости тс, будет наибольшим, когда я совпадает с плоскостью меридиана (предыдущее упражнение).
Способ остается тот же, что и в предыдущем упражнении, поэтому все сводится к определению Rt. Для этой дели, сохраняя обозначения предыдущего упражнения, обозначим через 04 нисходящую вертикаль в точке О (с единичным вектором и) и через Oi\ — прямую в плоскости aw меридиана, перпендикулярную к Ol и ориентированную таким образом, чтобы было
А
JjOrj =тс/2, при условии, что сохраняется положительное направление вращений в этой плоскости, принятое в предыдущем упражнении. Обозначив через у угол, заключенный между 0 и л, на который надо повернуть в сторону, соответствующую правому вращению вокруг Os, плоскость меридиана, чтобы привести ее в совпадение с плоскостью тс, мы обозначив через ObI1Ci систему
УПРАЖНЕНИЯ
183
осей, которая получится в результате такого вращения из системы OSf)C, так что плоскость Oiiji совпадет с я. Тогда будем иметь
S = S1, Tf) = TfJi cos z — X1 sin х, С = т)і sin у + Ci cos /.
Далее в плоскости 0S%, содержащей единичные векторы и, k и t, отклонение вектора ? есть О -f- п/2, так что его направляющие косинусы относительно осей OSvi1C1 будут — sin 0, cos 0, О и, следойательно, относительно осей OStjC будут —sin 0, cos 0 cos х, cos 0 sin х. Так как направляющие косинусы вектора w относительно осей OSfjC суть sin X, cos X, О, то заключаем, что
/Ч
Rt = — R cos wt = — R (cos 0 cos X cos х — sin 0 sin X).
Глава IX
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА. ДВИЖЕНИЯ С КАЧЕНИЕМ. СИСТЕМЫ ТВЕРДЫХ ТЕЛ C ВНУТРЕННИМИ ЦИКЛИЧЕСКИМИ
ДВИЖЕНИЯМИ
§ 1. Биллиардный шар
1. Рассмотрим движение тяжелого однородного твердого шара радиуса R по шероховатой горизонтальной плоскости, которую мы примем за плоскость C = O неподвижных осей 2$т]С с осью, направленной по вертикали вверх (фиг. 24). Очевидно, что речь идет о системе с пятью степенями свободы.
Обозначим через а, р первые две координаты (переменные) центра О шара; третья координата остается постоянно равной R. За подвижную систему осей (как в пространстве, так и в теле) мы возьмем ту, которая имеет начало в точке О, и оси х, у, z, соответственно параллельные и одинаково направленные C ОСЯМИ %, TQ, С. В силу этого точка С, в которой в любой момент шар соприкасается с опорной плоскостью, по отношению к неподвижным осям имеет координаты а, (3, 0, а по отношению к подвижным — координаты 0, 0, — R.
Для уточнения и пояснения постановки задачи мы предпошлем несколько замечаний. Во всякий момент в соответствующей точке соприкосновения С плоскость будет действовать на шар с некоторой реактивной силой, которую мы, пренебрегая трением качения и верчения (т. I, гл. 13, § 6), будем предполагать представленной в виде одной силы Ф. Согласно раз навсегда установленным принципам (гл. I, § 8) мы будем считать действительными законы динамического или, в частности, статического трения.
При этом необходимо отличать моменты времени, когда точка С, рассматриваемая как принадлежащая сфере, имеет скорость vCi отличную от нуля, от моментов, когда эта скорость равна нулю. Если обозначим через р0 и о) характеристические векторы (относительно точки О) движения шара (скорость точки О и угловую скорость шара), первый из которых, имея относительно неподвижных осей составляющие a, (3, 0, постоянно остается параллельным опорной
