Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-Чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 2" -> 85

Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.

Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 2 — Москва, 1951. — 556 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteorticheskoyfiziki1951.djvu
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 230 >> Следующая


Приложим это правило к конкретному случаю. Заметим прежде всего, что для полного однородного диска имеем C = та?)2, тогда как для кольца (обруча) С = та?, так что условие устойчивости для обоих случаев выражается соответственно неравенствами

V” >±ag, гг">і

ag.

Заметим, между прочим, что в случае обруча легче достигнуть устойчивости, чем в случае полного диска (в том смысле, что для достижения устойчивости достаточна меньшая скорость). Например, если радиус а равен 30 см, то приближенно будем иметь

v' > 1 м/сек, v' > 0,86 м/сек.

Колесо велосипеда можно рассматривать t как промежуточный случай между двумя указанными, так что для обеспечения устойчивости достаточно скорости около 1 м/сек (3,6 км в час). Система, составленная из велосипеда и велосипедиста, конечно, очень далека от простого катящегося диска (или обруча), тем не менее найденное выше значение может служить для указания порядка величины минимальной скорости, которая требуется для
206 ГЛ. tx. ДВИЖЕНИЯ С КАЧЕНИЕМ. СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИ

того, чтобы устойчиво держаться на велосипеде; как каждому хорошо известно, мы имеем здесь приближенное согласие с повседневным ОПЫТОМ р].

Заметим, что тем же самым приемом, только с более сложными вычислениями, можно было бы исследовать вопросы устойчивости, относящиеся к меростатическим решениям, которые соответствуют равномерному качению вдоль круговой дорожки, обладающему прецессионным характером').

Наконец, здесь уместно с целью сравнения добавить некоторые замечания, в которых для простоты мы будем иметь в виду случаи диска. Заметим прежде всего, что если бы у диска, катящегося по горизонтальной плоскости, мы отняли одну степень свободы, а именно ту, которая соответствует параметру ф, вынуждая точку соприкосновения двигаться по заданной прямой, то пришли бы к уже рассмотренной в виде примера в п. 52 гл. V голономной системе с двумя степенями свободы. Как уже тогда отмечалось и как это ясно из интуитивных соображений, динамически все еще возможно меростатическое движение, в котором диск равномерно с произвольной скоростью катится, оставаясь вертикальным, однако такое движение (как было указано в п. 52 гл. V) существенно неустойчиво так же, как и аналогичное состояние равновесия.

После этого предварительного замечания сопоставим три следующие динамические задачи, все относящиеся к тяжелому диску, опирающемуся на горизонтальную плоскость: 1) диск (с одной степенью свободы), закрепленный в точке его соприкосновения О с плоскостью и свободно вращающийся вокруг касательной Ox таким образом, что он может составлять любой угол с горизонтальной плоскостью; 2) диск (с двумя степенями свободы), который, кроме вращения вокруг касательной Ох, может свободно катиться вдоль этой прямой; 3) диск (неголономная система с со3 виртуальными перемещениями), который может свободно катиться по плоскости.

В случае 1) (сложный маятник) для диска возможно равновесие в вертикальной плоскости, проходящей через касательную Ох, но это состояние равновесия существенно неустойчиво; и, как мы только что напомнили, неустойчивость сохраняется и в случае 2), как бы ни была велика скорость качения. Наоборот, в случае 3), в котором без качения мы имели бы неустойчивость по отношению к двум степеням свободы (т. е. как по отношению к 0, так и по отношению к ф), достаточно, чтобы качение сделалось достаточно быстрым, для того чтобы соответствующее меростатическое движение стало устойчивым.

!) Cm., например, Routh, Dynamics of a system of rigid bodies, ч. II, § 244; Gray, Gyrostatics and rotational motion [London, Macmillan, 1918], стр. 388—391 или же J. Reveille, Dynamique des solides [Paris Balliere, 1923], стр. 333—338.
§ 2. КРУГОВОЙ ТЯЖЕЛЫЙ ДИСК

207

Таким образом, мы имеем простой и наглядный пример того обстоятельства, отмеченного в общем случае в п. 27 гл. VI, что появление гиростатических членов (в нашем случае это происходит благодаря качению) может стабилизировать движение только при четном числе степеней неустойчивости.

16. Об интегрировании дифференциальных уравнений движения диска. В п. 9 мы видели, что в общем случае определение движения тяжелого гироскопического тела с круглым основанием, опирающегося на горизонтальную плоскость, приводится, если не считать двух дальнейших квадратур, к интегрированию системы дифференциальных уравнений (19). Для диска (z0 = 0) система (19) должна быть заменена более простой системой (19'); как было сказано в п. 10, мы предполагаем здесь исследовать аналитическую природу задачи интегрирования, к которой приходим в этом последнем случае.

Возьмем снова второе и третье из уравнений (19'), которые, если принять во внимание тождества (16'), можно написать в виде

Ограничиваясь рассмотрением одной фазы движения, в которой угол Эйлера 0 (угол наклона диска к плоскости опоры) будет изменяться всегда в одном и том же направлении, так что произ-

симую переменную вместо t; тогда, разделив уравнения (29) на р as а, что возможно в силу допущенного предположения, и учитывая, что на основании третьего из уравнений (20) имеем
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 230 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed