Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-Чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 2" -> 84

Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.

Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 2 — Москва, 1951. — 556 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteorticheskoyfiziki1951.djvu
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 230 >> Следующая


К этому заключению можно прийти даже более простым способом, обращаясь к теории относительного движения 1J, которая приводит приближенным путем к так называемому условию динамического равновесия, принадлежащему Бурле2).

14. Замечания общего характера. Конечно, в случае любых решений для физической осуществимости движения чистого качения (как в случае диска, так и в более общем случае тела с круговым основанием) требуется, чтобы реакция плоскости подчинялась закону

1) Bisconcini, Esercizi е complementi di Meecaniea razionale, Milano, Tamburinij 1927, стр. 377—380, 467—471.

2) Bourlet1 Traite des bicycles et bicyclettes, Paris, Gauthier — Villars, 1898, т. I, стр. 49.
§ 2. КРУГОВОЙ ТЯЖЕЛЫЙ ДИСК

‘203

статического трения. А это приводит (см. упражнение 6) к неравенству, в которое входит коэффициент трения / и характеристики состояния движения твердого тела.

Некоторые авторы пользуются неточным выражением абсолютно шероховатая опора для обозначения того абстрактного случая, в котором всякое скольжение заранее исключается. На самом деле, сколь бы ни был велик, т. е. близок к единице, коэффициент трения, всегда существуют такие состояния движения (в примере, который приводит к соотношению (25), это будут такие состояния движения, когда VgIgR > 1), которые не совместимы с чистым качением, при условии, что тело просто опирается на горизонтальную плоскость.

15. Устойчивость прямолинейных движений. Сравнительные замечания. Применим к системе (19) метод малых колебаний (гл. VI, § 6), рассматривая колебания около меростатического решения о, соответствующего прямолинейному движению точки соприкосновения и определяемого (п. 11) постоянными значениями

р=Ь = 0, q = ф sin 0 = 0, Q = arc tg — , г,

zO

где на основании последнего из соотношений (20) г совпадает с постоянным значением ср1). Ё любом решении о, близком к решению о, мы можем рассматривать р и q, а следовательно, и <J» как количества первого порядка, полагая в то же время

0 = Ь + т,

где т рассматривается также как величина первого порядка. При этих условиях из того же соотношения (20), по крайней мере до членов второго порядка, получим

г — о = <7 ctg 0.

Последнее из уравнений (19), так как pq и (г — ®)р будут величинами второго порядка, интегрируется непосредственно и для Любого о, близкого к о, дает

где г0 обозначает постоянную (мало отличающуюся от г).

!) Условие устойчивости, к которому мы придем при помощи метода малых колебаний, действительно также и в строгом смысле. Cm. G. Vran-ceanu, Sulla stability del rotolaraento di un disco, Rend. Acc. Liticei, т. XXXIII,

I0 sem. 1924, стр. 383—388.
204 ГЛ. IX. ДВИЖЕНИЯ С КАЧЕНИЕМ, системы с циклическими движениями

Полагая теперь в двух первых уравнениях (19) 0 = fJ-f-T, р = т, г = r0-\- maz^qjC^ и r0 — ® = ^ctgQ, по крайней мере с точностью до членов второго порядка, получим два уравнения

} (26)

где для краткости положено

B2 = B1 — Hi9Q2Zyc1.

Второе уравнение интегрируется непосредственно и после интегрирования принимает вид

где S1 обозначает постоянную величину первого порядка.

После этого, исключая q из первого из уравнений (26), придем к линейному неоднородному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами

(C1 -f тагй ctg 0) г A1B2

Общий интеграл уравнения (27), если предположить, что k ф О, выражается, как известно, равенством

где T1 есть общий интеграл соответствующего однородного уравнения

по хорошо известному виду его (ср. т. I, гл. И, пп. 36, 44) легко заключить, что мы будем иметь устойчивость или неустойчивость в зависимости от того, будет ли k положительным или отрицательным.

Если мы хотим обратиться к теории характеристических показателей, то достаточно принять во внимание, что характеристическое уравнение будет иметь здесь вид

B,q — (C1 — таг) г0т = є„

T -j- k-z = с,

(27)

где для краткости положено

k =

(C1 + maz0 ctg 0) (C1 — та2) r\ — mgB2 (Z0 cos 0 + a sin 0)

ї 4- kz = 0;

Z2-і- k = 0.
§ 2. КРУГОВОЙ ТЯЖЕЛЫЙ ДИСК

205

Если затем из выражения для k мы исключим г0, вводя в него квадрат v'* = а?г\ линейной скорости точки О, то условию устойчивости & > 0 можно будет придать вид

. mgtgBz (z0>cos 0 + a sin 0)

(C1 -f- mazo ctg fl) (Cl — та2)

В случае диска в собственном смысле (полного или неполного), при прямолинейном движении будем иметь 0 = и/2. Что касается структурных постоянных, то имеем

Z0 = 0, B2 = B1 = ^-C, C1 = C+- та?,

где С обозначает осевой момент инерции, так что условие (28) принимает вид

и» >_____md^ (28^

V > 2 (С +те2) • ° '

Этот результат позволяет объяснить причину того экспериментального факта, что как для гироскопического тела с круговым основанием, так, в частности, и для диска состояние равновесия, соответствующее предположению, что центр тяжести находится на вертикали, проходящей через точку опоры, выше этой точки, будет неустойчивым, тогда как качение вдоль прямой, которое при малых скоростях все еще будет неустойчивым, становится устойчивым, когда скорости достаточно велики [®].
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 230 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed