Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим сначала случай, когда эта проекция остается неподвижной и примем ее за начало Q неподвижных осей. Если обозначим через N нормальную реакцию оцоры. (представляющую собой, благодаря отсутствию трения, полную реакцию) и вспомним, что высота центра тяжести есть h, то, проектируя уравнение (36) на вертикаль С, мы будем иметь скалярное уравнение
которое вследствие того, что h есть известная функция от 9, даст реакцию для любого момента времени, как только удастся определить параметр 0 в функции от времени.
Возьмем для этой цели второе основное уравнение, которое, если за центр моментов принять центр тяжести, принимает в этой случае свой наиболее простой вид
обозначим, как обычно, через А и С главные моменты инерции (экваториальный и осевой) твердого тела относительно центра тяжести и через р, q, г — проекции угловой скорости (о твердого тела на стереонодальные оси Ox'y'z' или, что все равно, на оси Gxyz, с началом в центре тяжести и одинаково направленными с осями Xr, у', z' (эта система Gxyz, как бы ни были расположены в теле оси л:, у, всегда состоит из главных осей инерции). Так как линии действия силы тяжести и реакции пересекают ось Z, то уравнение (37) после проектирования на эту ось, как и в случае тяжелого гороскопа, дает
mh = — mg -|- N,
(360
(37)
Cr = Ol
откуда и следует постоянство проекции угловой скорости г, т. е. первый интеграл г = г0.
§ 3. ТЯЖЕЛОЕ ТЕЛО ВРАЩЕНИЯ HA ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ 213
Далее, вместо того, чтобы проектировать уравнение. (37) на экваториальную плоскость, мы обратимся к интегралам живых сил и моментов относительно вертикали
T-U = E, Kt = C, (38)
которые, очевидно, существуют также и в этом случае. Для того чтобы написать их в явной форме, заметим, что потенциал, если предположить его равным нулю в опорной плоскости, определяется равенством
U = — mgh\
с другой стороны, если, как обычно, обозначим через Tf1, f2> Тз направляющие косинусы вертикальной оси С относительно системы осей Ox'y'z', то будем иметь
T = -I т& +1 (Л [/>» + g»j 4- O03),
K1 = A (Pi14- <7Т2) + Ст3г0.
Теперь fj = 0, -f2 —sin0, *f3 == cos 0 и при заданной гироскопической структуре твердого тела относительно этой стереонодальной системы будут иметь место уравнения (20) п. 9, так что, рассматривая h как функцию от t через посредство 0, обоим первым интегралам (38) можно придать вид
02 (А 4- т/г'2) 4- A sin2 Об2 4~ 2mgh = Е, (39)
Afy sin2 9 4" Cr0 cos 6 = с. (40)
где для краткости положено 2E — Cri0 — E1. Достаточно исключить из этих уравнений ф, чтобы видеть, что угол нутации 0 определяется в функции от времени уравнением известного типа
O2 = Ф (0), (41)
которое, как мы уже знаем, интегрируется в квадратурах; после этого на основании уравнений (20) посредством квадратур определяются все остальные неизвестные величины задачи.
Заметим, без доказательства, что всякий раз, как высота h центра тяжести будет рациональной функцией от sin 0 и cos 0, квадратура при интегрировании уравнения (41) сведется к гиперэллиптической, если за неизвестную функцию примем tg0/2; таким, в частности, будет случай, когда h выражено формулой (34), которая справедлива для обыкновенного волчка как в том предельном случае, когда он опирается на плоскость в одной точке (е = 0), так и в том случае, когда его основание представляет собой полусферу.
Как бы то ни было, при всяком движении твердого тела, Когда проекция P центра тяжести на опорную плоскость остается
214 ГЛ. IX. ДВИЖЕНИЯ С КАЧЕНИЕМ. СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИ
неподвижной, гироскопическая ось г, в то время как проходящая через нее вертикальная плоскость вращается вокруг вертикали, совершает периодическое нутационное движение между двумя крайними значениями углов S1 и 02, представляющими собой простые нули функции Ф(0) (если бы начальные условия соответствовали двойному нулю функции Ф (0), то мы имели бы снова движение прецессионного характера).
21. Перейдем теперь к случаю, когда проекция P центра тяжести на опорную плоскость не остается неподвижной, а движется прямолинейно и равномерно. В этом предположении систему PExti1C1 с началом в P и осями, параллельными неподвижным осям ц, С и одинаково направленными с ними, можно рассматривать как галилееву систему, так что относительно нее остаются в силе основные уравнения в представленной в предыдущем пункте форме. Поэтому можно сказать, что относительно этих новых осей опорная плоскость находится в прямолинейном и равномерном поступательном движении, противоположном действительному движению точки Р\ но так как эта плоскость по предположению абсолютно гладкая, то ее движение никоим образом не влияет на реакцию в точке О; поэтому относительно осей PS1^1C1 остаются в силе все заключения и рассуждения предыдущего пункта.
22. Действие трения. После этого первого схематического разбора задачи, имеющего чисто теоретический характер, мы рассмотрим ее снова в виде, лучше соответствующем действительности, принимая во внимание трение.
Чтобы обнаружить наиболее существенные обстоятельства, нет необходимости давать полную явную форму уравнениям движения. Достаточно спроектировать основное уравнение моментов на вертикаль С и на гироскопическую ось г твердого тела. Для того чтобы сохранить для этого уравнения его более простой вид,(37), удобно также и здесь принять за центр моментов центр тяжести, благодаря чему момент веса будет равен нулю. Поэтому момент M сведется к моменту реакции, которая в этом случае наряду с нормальной составляющей будет иметь и касательную составляющую (сила трения). Обозначая через S, Н, Z проекции реакции (полной) Ф на стереонодальные оси Ох'у'г' и принимая во внимание, что координаты центра моментов G равны 0, у0, г0, мы найдем для проекций
