Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда, дифференцируя второе уравнение по 0 и исключая при Помощи уравнений (29) q и dqfdd, получим для неизвестной проекции г угловой скорости дифференциальное уравнение второго порядка (при независимой переменной 0)
AqAr {(А — С)г — Лср'}р = 0, j (С-{-та2) г — ma2pq = 0. J
(29)
водная 0 остается отличной от нуля, мы можем принять 0 за незави
мы придем к следующим двум уравнениям:
A^ +Aqctgb —Cr = O, ] (С+та?) — ma^q — 0. j
(29')
которое, если положить
COS2 0 = и,
‘208 ГЛ. IX. ДВИЖЕНИЯ С КАЧЕНИЕМ, системы с циклическими ДВИЖЕНИЯМИ
принимает вид
,, JV і 1 /, о \dr Crncfi _ /ол.
+ If 4А(С+та*) Г ~ °' ^30)
Мы пришли, таким образом, к линейному уравнению второго порядка, представляющему собой известное в анализе гипергеометри-ческое уравнение Гаусса1).
Интегрирование уравнения (30) дает угловую скорость г диска в функции от 9, после чего все сводится к определению 0 в функции от времени, так как, зная 0 (t), мы сможем найти аналогичное выражение для г, а на основании первого из уравнений (20) и второго из уравнений (29) найдем и выражения для р и q; с другой стороны, после вычисления р, q и г в функциях от времени, второе и третье из уравнений (20) дадут © (t) и ф (t) посредством двух квадратур. Для определения 0 (І) можно было бы обратиться к первому из уравнений (19'), до сих пор еще не использованному. Выгоднее, однако, взять в качестве исходного уравнения хорошо известный первый интеграл наших уравнений движения, а именно интеграл живых сил.
Действительно, мы имеем здесь дело с твердым телом, находящимся под действием неголономной, HO не зависящей от времени связи, причем активные силы сводятся к силе тяжести, которая при т = 1 имеет потенциал — где Ce обозначает третью абсолютную координату центра тяжести, т. е. a sin 0. Далее, живая сила диска на основании теоремы Кёнига и известного выражения живой силы относительно центра тяжести определяется равенством
2 T = Ittv2ff + А (р2+ q2) + Cr2
или же в силу выражений (18) при ^0-O
2 T= (Ajr та2) р2 -J- Aq2 + (C-f - та2) г2\
поэтому интеграл живых сил принимает вид
(А 4- та2) р2 4- Aq2 4" "Ь та%)г2 — 2mag sin 0 = const,
и так как имеем р = 0, а г и q, как это видно из уравнений (29'), могут быть (в результате интегрирования гипергеометрического уравнения) выражены через 0, то последнее уравнение дает t в функции от в посредством одной квадратуры.
§ 3. Тяжелое тело, ограниченное поверхностью вращения, на горизонтальной плоскости
17. Геометрические замечания. К другой известной задаче, обобщающей как ту, так и другую из задач, исследованных в §§ 1 и 2, мы придем, рассматривая твердое тело, ограниченное поверхностью
1J Cm., например, В. В. С т е п а н о в, Курс дифференциальных уравнений, 1938, стр. 237 — 241. (Прим. ред.)
§ 3. ТЯЖЕЛОЕ ТЕЛО ВРАЩЕНИЯ HA ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ 20§
вращения, которое движется исключительно под действием силы тяжести, опираясь на горизонтальный твердый пол.
Обратимся сначала к некоторым предварительным геометрическим соображениям. Пусть мы имеем некоторую плоскую кривую С (фиг. 27), отнесенную к прямоугольным осям Gy0Z0, причем за положительное направление вращения вокруг точки G плоскости y0z0 принимается то, которое идет от оси у0 к оси Z0 (через прямой угол). I Обозначим через у0, Z0 координаты произвольной точки О кривой, через GP — перпендикуляр, опущенный из G на касательную в точке О, через 0 — угол оси Gz0 относительно направленной прямой GP и через h — расстояние (положительное) GP. Относя, если необходимо, наши рассуждения к надлежащим образом ограниченной дуге кривой С, мы можем принять угол 9 за параметр, пригодный
для определения положения произвольной точки О кривой, благодаря чему у0, Z0 и h можно рассматривать как однозначные функции угла 0, определяемые геометрической природой кривой С. Далее,
так как направляющие косинусы касательной в точке О пропорцио-
нальны соответствующим значениям производных у'0, г'0 функцийу0, Z0 по 0, а направляющие косинусы полупрямой GP, параллельной нормали, равны sin 6, cos 0, мы для произвольной точки О будем иметь
V0 sin 0 го cos 8 = 0. С31)
С Другой стороны, проектируя вектор GO на направление GP,
получим
у0 sin 0 -j- Z0 cos 0 = fi. (32)
Отсюда, принимая во внимание равенство (31), в результате дифференцирования по О получим
у0 cos 0 — Z0 sin 0 = h'. (32')
Левая часть этого равенства, взятая с обратным знаком, пред-
вставляет собой проекцию вектора GO на направленную прямую, образующую с осью у0 угол те— 0. Поэтому — h' есть абсцисса точки P относительно точки соприкосновения О, причем положительным направлением абсциссы будет направление, указанное на фигуре.
Решая оба последних уравнения относительно уе, Z0, получим
у0 = h sin О H- h’ cos О,
Z0 = h cos 0
4- k' cos О, \ — fi' sin 0; J
(33)
|4 Зак. 2368. Т. Леви-Чивита и У. Амальди
210 ГЛ. IX. ДВИЖЕНИЯ С КАЧЕНИЕМ. СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИ
эти равенства представляют собою, если предполагается известным выражение h через 8, параметрические уравнения кривой С (или, по крайней мере, той ее дуги, которую мы условились рассматривать) в функции параметра 0.
