Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
5. Заключительные замечания. Проследим за центром шара в общем случае его движения, чтобы посмотреть, как связываются одна с другой обе фазы. Для упрощения формул представим себе, как в п. 2, что ось Yj выбрана с самого начала в направлении скорости v скольжения.
Если a0, P0 представляют собой составляющие (произвольные) скорости (горизонтальной) точки О в нач'альный момент (/=0), то первое из уравнений (1) при нашем выборе осей (^ = 0) для начального значения х° составляющей ^ содержит в себе условие
а° = ЯХ°, (9)
а второе дает для величины скорости скольжения v = v^ начальное значение
V0 — P0 Rk0,
где и0 есть начальное значение л, являющееся произвольным, за исключением лишь того ограничения (происходящего от выбора осей), чтобы было
1,о= ро_|_о.
§ 1. БИЛЛИАРДНЫЙ ШАР
191
Центр О шара, как мы видели, исходя из своего начального положения, описывает, вообще говоря, дугу параболы, в то время как шар скользит по опорной плоскости, вращаясь вокруг О с некоторой угловой скоростью, составляющие которой определяются равенствами
тг = к° — Щ t, і = уД р = р°,
где х°, р° обозначают начальные значения (произвольные) составляющих ]( и р. Эти равенства показывают, что две угловые скорости, с которыми шар, скользя по плоскости, вращается вокруг вертикального диаметра и диаметра, параллельного скорости скольжения, остаются постоянными, тогда как угловая скорость качения в собственном смысле (вызываемая сопротивлением скольжению), т. е. угловая скорость вращения вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к направлению движения, убывает.
В этой первой фазе, которая продолжается до момента
_ 2 to h~ 1 Sg'
проекции скорости точки О в любой момент определяются на основании равенств (5) уравнениями
а = ос°, $ = — fgt+$°, и поэтому к концу tt этой первой фазы достигают значений
«і = «°. Pi = - у "'о + P0 = I (5 P0 - 2/?ic°); (10)
в то же время при неизменных і = х°, р = P0 составляющая и достигает своего наименьшего значения
= (600-2/?*0).
Это и будут начальные значения величин а, р, тг, у, р во второй фазе, в течение которой центр О продолжает двигаться по прямой линии с постоянной скоростью; составляющие этой скорости определяются из уравнений (10). Так как эти составляющие совпадают с составляющими скорости точки О в конце параболической траектории первой фазы, то мы непосредственно видим, что центр О после пробегания дуги параболы движется равномерно вдоль касательной в конце параболы в ту же сторону. Так как может случиться (это видно из уравнений (10)), что ориентированное направление этой касательной образует тупой угол с начальной скоростью, то мы имеем здесь теоретическое объяснение того факта, хорошо известного игрокам на биллиарде, что шар при известных условиях может в своем движении повернуть назад.
192 ГЛ. IX. ДВИЖЕНИЯ с качением, системы с циклическими движениями
Здесь, наконец, удобно обратить внимание на тот случай, когда движение точки О вместо параболического оказывается прямолинейным даже в первой фазе. Для того чтобы это произошло, необходимо и достаточно при принятых здесь осях, чтобы было а0 = О (п. 2) и, следовательно, в силу уравнения (9) = 0; при этом предположении
надо принять во внимание только характер изменения составляющей (3 скорости центра О, которая в любой момент все еще определяется равенством
р = —fgt + P0-
Если значение
для которого исчезает это выражение р, не заключено в промежутке от 0 до
2 ф» 2
Z1 =
то центр О описывает за время равнозамедленным движением прямолинейный отрезок, параллельный оси Yj, а шар скользит по плоскости, вращаясь с убывающей угловой скоростью
вокруг горизонтального и перпендикулярного к направлению движения диаметра, с постоянной угловой скоростью (произвольной) р0 вокруг вертикального диаметра (и с нулевой скоростью вокруг диаметра, параллельного направлению движения); начиная с момента tlf центр О движется равномерно по той же прямой и в ту же сторону со скоростью (наименьшей)
(5р° — 2/?тг0),
а сам шар катится по плоскости, вращаясь с угловой скоростью
— Т^-(5Р°—2Л«°)
вокруг горизонтального и перпендикулярного к направлению движения диаметра, и вертится с постоянной угловой скоростью р° вокруг вертикального диаметра.
Движение будет происходить иначе, если t* заключено между 0 и tu для чего требуется во всяком случае, чтобы было {3° > 0. Если t* совпадает с tu т. е. если имеем
5^° = 2 Riг°,
то фаза скольжения развивается, как и выше, с той особенностью (связанной с выбором осей), что здесь центр движется в положитель-
§ 2. КРУГОВОЙ ТЯЖЕЛЫЙ ДИСК
193
ную сторону оси Yj; но в конце этой первой ¦фазы, т. е. в момент обращаются одновременно в нуль р и it, а потому центр О, потеряв всю свою скорость, останавливается в достигнутом положении и шар продолжает вращаться с постоянной угловой скоростью р° вокруг вертикального диаметра, если только с самого начала не было р° == 0; в этом последнем случае шар останавливается совсем.
Если, наоборот, t* будет положительным и меньшим tv то в момент t* исчезает р, хотя первая фаза скольжения еще не будет окончена; центр О, описав за интервал от 0 до ^ прямолинейный отрезок, параллельный оси yj, в положительную сторону, меняет направление движения на прямо противоположное, продолжая двигаться равнозамедленно, в то время как сам шар продолжает скользить до момента tlt когда начинается фаза равномерного движения для центра и чистого качения для шара. Таким образом, мы имеем здесь механическое объяснение того хорошо известного факта, что на шероховатом полу можно так толкнуть шар, что он, вращаясь и скользя до определенной точки, останавливается раньше, чем можно было бы предположить по начальному импульсу, или даже возвращается назад.
