Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
— XCyi dm, — XCy2 dm, — Щъ dm,
где ті, Т2> Тз означают, как обычно, направляющие косинусы неподвижной оси С относительно осей, неподвижных в теле, и, конечно, С = ухх -f- у2у + Тзг-Такая элементарная сила является производной от потенциала
— -X^dm,
так что, интегрируя и принимая во внимание, что оси Oxyz являются главными осями инерции, мы найдем для потенциала выражение
* ' ' - „2 і „ а
U ^ ~~2 1 (-yXTi + *2Ї2 + sSfP*
где Si, J2, S3 представляют собой главные моменты инерции относительно главных плоскостей
Si = J хг dm, S2= J* у2 dm, S3 = J*22 dm;
достаточно вспомнить, что если мы обозначим через / полярный момент инерции тела относительно точки О, то будем иметь
Л = S2-{-Sg, .В = S3-{-Si, С = Si-)-S2, sI Ч" s2 -{- s3 = ~2 (А Ч" В С) = Г,
можно написать, по меньшей мере с точностью до несущественной аддитивной постоянной,
tf=j*MT;+*rS+crS)-
Посредством столь же легкого интегрирования получим выражения для проекций результирующего момента активных сил
Mx = Xitf3(B-C), My = Xt3Yi(С — A), Mg = Xy1I2(A-B).
Теперь очевидно, что задача о движении тела при этих условиях, как и
в случае тяжелого тела, допускает интеграл живых сил
T-U = E,
а также и интеграл моментов количеств движения
Kz = const,
так как элементарная сила параллельна оси С и, следовательно, момент ее относительно этой оси равен нулю.
Проверить на основании уравнений (5) Эйлера (п. 1) и уравнений (35') Пуансо (п. 22), что существует также интеграл
A2P2 + B2q2 + CV3 + X (BC1I + CAyl + ABlb = const,
после чего будет обеспечена интегрируемость задачи в квадратурах (ср.
п. 24).
УПРАЖНЕНИЯ
181
17. Барогироскоп. Барогироскоп представляет собой аппарат, способный обнаруживать вращение Земли. Как и в случае гироскопической буссоли, речь идет о гироскопе, закрепленном в одной из точек его оси таким образом, что эта ось вынуждена оставаться в некоторой плоскости п, неизменно связанной с Землей; но в то время как в гироскопической буссоли, которая была схематически изучена в пп. 54—57, закрепленная точка О должна была совпадать с центром тяжести О, в барогироскопе центр тяжести G надо предполагать отличным от О, но близким к ней. Это может быть осуществлено посредством очень простого приспособления (например, посредством малого перемещения добавочной массы), тогда как экспериментально гораздо труднее получить строгое совпадение точки О с центром тяжести О, как это требуется для гироскопической буссоли.
Для функционирования барогироскопа типичным случаем будет тот, когда плоскость я вертикальна; мы здесь рассмотрим даже более частный случай, предполагая, что плоскость я является плоскостью меридиана, проходящего через точку О.
Если при этих условиях мы сообщим барогироскопу быстрое вращение около собственной оси и предоставим его самому себе, направив ось вертикально и поместив центр тяжести G ниже закрепленной точки О, то он не сохранит этого своего положения, которое было бы положением устойчивого равновесия при отсутствии гироскопического вращения, а примет другое положение кажущегося устойчивого равновесия, при котором ось будет отклонена от вертикали. Это отклонение (в направлении, зависящем от стороны вращения) будет тем более ощутительны^, чем больше будет гироскопическая угловая скорость г и чем меньше расстояние I — OG. Причину этого явления мы легко найдем, если примем во внимание вращение Земли.
Для этой цели мы возьмем снова обозначения и соглашения, которыми мы пользовались в пп. 54—57, и начнем с замечания, что барогироскоп движется под совместным действием веса и сложных центробежных сил в смысле, уточненном в п. 56. Единственная разница с гироскопической буссолью заключается в том, что момент относительно точки О веса не равен больше нулю, а имеет в направлении векторов v и k (так как здесь взято в = я/2) составляющие —mgl sin 0 и 0. Если введем, как в п. 55, аргумент б = S, который здесь представляет собой угол отклонения гироскопической оси от вертикали, то получим уравнения движения в виде (ср. (103') текста)
Ab = CrRf — mgl sin б, Cr = — CftRt. (9)
Эти уравнения, как и уравнения (103'). допускают интеграл живых сил, принимающий здесь, при наличии силы тяжести, вид
¦— (Л5а + Cr2) — mgl cos б = Е.
Для полной постановки задачи необходимо определить проекцию Rt угловой скорости R Земли. Обозначив через U и w единичные векторы нисходящей вертикали, в точке О и, соответственно, оси мира, направленной с севера на юг, условимся за положительное направление вращения в плоскости меридиана от и к w считать то, которому соответствует угол, меньший я. Вследствие этого из равенств
л уч ^ уч ти
Uk — 0, kt = Y, UW= — А,
А
где Л есть широта точки 0, следует, ЧТО Wt = 0 + ** H потому
Rt-^-Rsos(8 + X).
182
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
Подставляя это выражение Rt во второе из уравнений (9) и интегрируя’ получим
г — R sin (0 -f X) = const; (10)
достаточно было бы подставить полученное таким образом выражение для г в интеграл живых сил, чтобы иметь уравнение первого порядка обычного типа, интегрируемого в квадратурах, для б, 02 = Ф (0) (ср. § 6 гл. I). Мы предоставляем читателю убедиться на этом уравнении в динамической эквивалентности настоящей задачи с задачей о движении простого маятника.
