Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
В 1874 г. С. В. Ковалевская защитила диссертацию в Гёттингене и получила степень доктора философии; в 1884 г. она заняла кафедру математики в Стокгольмском университете, а в 1889 г. была избрана членом-корре-спондентом Петербургской Академии наук.
Работы С. В. Ковалевской относятся к общим вопросам интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными и к прикладной математике.
Особенной известностью пользуется открытый ею третий случай интегрируемости уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки; за эту работу она получила первую премию Парижской академии наук в 1888 г. {Прим. ред.)
§ 9. СЛУЧАЙ С. В. КОВАЛЕВСКОЙ
167
где для краткости через А.3 обозначена постоянная (положительная) Px0JC, имеющая размерность квадрата угловой скорости; кинематические уравнения Пуассона сохраняют при этом свой вид:
Tise=Ta^-Tiflr. Т2 — Т3Я — Tir> Ts = Tiflr-TaP-
(350
Прибавляя к первому уравнению (109) второе, умноженное на
і = У—1, мы получим уравнение
2(Р+ lq) = — ir (р + iq) — ^2Ts-которое по умножении на p~\-iq можно написать в виде
Yt (р+ iQ f = —ir (P + 1V)2 — ^2Ts (Р + iD-
Ho из первых двух уравнений (35') непосредственно имеем d
dt
(Ti + *т») = —ir (Ti + г'т2) — jTs (р + Ш).
так что, вычитая из предыдущего уравнения это последнее, после
умножения обеих его частей на X2, мы придем к уравнению
Yt HpjT iq? -^2 (Ti+'Ta)) = — *>¦{(р+щ?—^2 (ь + «та)} или же
в —-Ir в, (110)
где положено
в = (р + iq)2—(Ti+г'т2)- (111)
Если же через 0 обозначим комплексную величину, сопряженную с 0, которая (так как мы имеем в виду действительные решения наших дифференциальных уравнений) получится путем замены г через — г в уравнении (111), то к уравнению (110) можно присоединить уравнение
0=г>6; (110')
поэтому, умножая уравнение (110) на 0, уравнение (110') на 0 и складывая почленно, получим
168
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
отсюда получается алгебраический интеграл четвертой степени, открытый Ковалевской,
вй = {{р + Iqf — X2(Yi -{- г\2)} {(р — «V)2—Xа (Y1 — i'Ya)} = const.
Благодаря ему интегрирование уравнений (109) и (357) сводится к гиперэллиптическим квадратурам. Мы не будем здесь останавливаться на доказательстве этого и не будем излагать последних исследований, предметом которых стал этот замечательный случай интегрируемости у различных авторов. Напомним только, что для уравнений (109) и (35') изучены стационарные решения и их устойчивость!) *).
59. Алгебраические первые интегралы. Случай Гесса. В случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской последний из первых интегралов, приводящий к интегрированию посредством квадратур уравнений движения тяжелого твердого тела с одной закрепленной точкой (п. 24), является, как и интегралы живых сил и моментов, алгебраическим относительно неизвестных функций. Поэтому естественно, что предпринимались общие исследования вопроса о том, допускают ли и в каких случаях динамические уравнения тяжелого твердого тела, закрепленного в одной точке, помимо двух классических интегралов, какой-нибудь новый алгебраический интеграл, относительно переменных р, ?> r> Yi> Ya> Ys* Однако глубокое исследование Гюссона2), выполненное в более изящной форме Бургатти8), привело к заключению, что, помимо рассмотренных ранее случаев Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, не существует других алгебраических интегралов, кроме интегралов живых сил и моментов.
Тем не менее делались попытки исследовать случай, когда посредством квадратур удается определить для системы (34'), (35') не общий интеграл, а хотя бы семейство оо4 решений, что, как было сказано в п. 22, означает оо5 решений задачи о движении **).
1) Levi-Clvita1 Sui raoti stazionari di un corpo rigido nel caso della Kowalevsky, Rend. Асс. Lincei, s. 5а, т, X, 1091і, стр. 338—346, 429—434, 461—466.
*) О случае С. В. Ковалевской см.: С. В. Ковалевская, Полное собрание математических работ, 1949; Н. Е. Жуковский, Геометрическая интерпретация рассмотренного С. В. Ковалевской случая движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки, полное собрание сочинений, т. I, 1937, в этой" же статье можно найти указания на другие работы, посвященные изучению случая С. В. Ковалевской; сборник работ ,В память С. В. Ковалевской*, 1934; Суслов Г. К., Теоретическая механика,1946, стр. 563—576. (Прим. ред.)
2) Husson, Recherche des integraies algebriques, и пр., These, Paris, Gauthier — Villars, 1905.
3) Burgatti, Diraostrazione della non esistenza d’integrali algebripi и пр.. Rend, del Circ. Mat. di Palermo, т. XXIX, 1910, стр. 369—377.
**) Иными словами, определить частное решение, зависящее не от пяти, a Qt четырех произвольных постоянных, распоряжаясь пятой из них так, чтобы получить новый алгебраический интеграл. (Прим. ред.)
§ 9. СЛУЧАЙ С, 3. КОВАЛЕВСКОЙ
169
Первый и, может быть, наиболее интересный из этих случаев частной интегрируемости был открыт Гессом *).
Заметим, что на основании той же теоремы Лиувилля, на которую мы ссылались в п. 24 и которую мы докажем в гл. X (§ 7), достаточно знать одно соотношение
