Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что все это находится в совершенном согласии с тем, что было сказано в § 6 гл. VII о движении колеса. По существу, мы могли бы даже все свести к тем же рассуждениям, уподобляя P и х количествам, которые ранее обозначались через V и со.
§ 2. Круговой тяжелый диск, который может катиться по
горизонтальной плоскости. Твердое тело гироскопической структуры с круговым основанием
6. Для того чтобы иметь конкретное представление о задаче, рассматриваемой в этом параграфе, представим себе монету (однородный диск), которая катится по полу; рассуждения, которые мы здесь изложим, останутся в силе, если мы будем иметь дело с кольцом (детский игрушечный обруч) или с каким угодно твердым диском, сплошным или полым, лишь бы выполнялись следующие условия:
1) диск должен оканчиваться острым краем, имеющим форму окружности С\ 2) центр тяжести диска О должен .совпадать с центром окружности С; 3) диск должен быть гироскопической структуры относительно оси, проходящей через С. Однако пока мы оставим в стороне условие 2) и будем рассматривать более общий случай какого угодно твердого тела, имеющего гироскопическую структуру относительно какой-нибудь оси и оканчивающегося у основания круговым диском с острым краем, перпендикулярным в своем центре к гироскопической оси и опирающимся в какой-нибудь точке контура на горизонтальную шероховатую плоскость (твердое тело гироскопической структуры с круглым основанием).
Центр тяжести будет лежать на гироскопической оси на некотором расстоянии от плоскости окружности основания; достаточно
13 Зак* 2368. Т. Леви-Чивита и У. Амальдн
194 ГЛ. IX. ДВИЖЕНИЯ С КАЧЕНЙЕМ. СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИ
будет предположить, что это расстояние равно нулю, чтобы вер» нуться к диску в собственном смысле.
Здесь так же, как и в случае биллиардного шара, движение может происходить со скольжением или как чистое качение; для нашей цели больший интерес представляет этот последний случай, которым мы и ограничимся в нашем исследовании.
Здесь мы " имеем одну из тех задач, в которых, чтобы лучше представить ход движения, удобнее основные уравнения динамики относить к осям, движущимся в теле (гл. VII, п. 3; гл. VIII, п. 46).
В качестве основной системы осей мы примем систему Ох'у'г' (фиг. 25), начало которой совпадает в каждый момент с той точкой О,
осей обозначим через i, j, k\ заметим также, что в случае диска, к которому относится прилагаемая фигура, центр тяжести G совпадает с центром окружности С и лежит поэтому на оси у’.
Вместе с этой основной системой примем за вспомогательные две другие системы осей QSriC и Qxyz. Первая из этих систем неподвижна и ее плоскость C = O совпадает с опорной плоскостью, а ось С (вертикаль) направлена вверх, вторая же неизменно связана с диском и имеет началом центр тяжести; ось z этой системы совпадает с гироскопической осью диска и направлена в одну и ту же сторону с параллельной ей осью z'. В силу гироскопической структуры тела эта последняя система осей, как бы ни были заданы оси х, у, представляет собой систему главных осей инерции (относительно центра тяжести), и потому мы имеем A = B. Кроме того, надо заметить, что координаты центра тяжести относительно осей Ох'у'г' будут
0, a, Z0, где а обозначает радиус окружности С, a Z0—расстояние от плоскости окружности С до центра тяжести; достаточно положить Z0 = 0, чтобы вернуться к случаю диска.
7. Предварительные замечания кинематического характера. Введенные таким образом три системы осей имеют в действительности разные начала; но если мы обратим внимание только на их взаимную
Фиг. 25
в которой окружность С диска в этот момент соприкасается с плоскостью, и оси х', у', г' идут соответственно по касательной к окружности С в точке О, направленной в сторону качения, по прямой, идущей от О к центру С окружности и, наконец, по перпендикуляру в точке О к плоскости диска, направленному таким образом, чтобы система, как обычно, была правой. Единичные векторы этих трех
§ 2. КРУГОВОЙ ТЯЖЕЛЫЙ ДИСК
195
ориентировку, то увидим, что система Ox'y'z' является стереоно-дальной, так как ось Oz' имеет направление гироскопической оси, и ось Ox' параллельна (или прямо тождественна, если Z0 = 0) прямой пересечения плоскости ху, неподвижной в теле, с неподвижной плоскостью Syj (линия узлов). Отсюда следует, что для углов Эйлера,
для угловых скоростей о) твердого тела, о)7 основных осей (относительно неподвижных осей) и для проекций р, q, г и р', q', r' этих угловых скоростей на стереонодальные оси остаются справедливыми соотношения
о)' = о) — (11)
V1 = U, q' = tysin0, г'cos 0; (12)
р'=р, я'=* я* г' = г —у, (із)
взятые из п. 47 предыдущей главы, так как на них не оказывает никакого влияния положение начала различных систем.
Для дополнения кинематических предпосылок примем во внимание, что в этой задаче удобно обратиться к основному уравнению моментов в его общей форме (п. 17, гл. V), т. е. к уравнению вида
/Г+«)'ХАГ+р'Х<? = М, (14)
при составлении которого предполагается, что центр моментов, движущийся с абсолютной скоростью v', выбран в точке касания О, а производная AT берется относительно стереонодальных осей (имеющих угловую скорость 0)'). Поэтому для дальнейшего полезно определить абсолютную скорость v' полюса О.
