Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
/(P. Я, г, Tf1, Tfa* Ts") = 0' (112)
которое остается в силе в течение всего движения всякий раз, как оно будет удовлетворено вначале, для того чтобы можно было определить посредством квадратур все ооб удовлетворяющих ему движений. Уравнение (112) уже нельзя назвать первым интегралом, поскольку оно удовлетворяется только частью решений (теми, которые ему удовлетворяют вначале), и поэтому чаще называется инвариант-ным уравнением (по отношению к движению) или, как еще говорят, первым частным интегралом.
К случаю Гесса мы придем, если будем отыскивать, при каких условиях может получиться, что момент количеств движения К остается в течение всего движения перпендикулярным к центральной оси OQt или, другими словами, что при подходящих структурных предположениях уравнения движения могут допустить частный интеграл
K-OG = Ах0р -j- By0q -j- Cz0r = 0. (113)
Для того чтобы это имело место, необходимо и достаточно, чтобы производная по времени от К • OG обращалась в нуль, когда исчезает само К • OG.
Далее, так как речь идет о скаляре, то производную можно взять по отношению к любым осям; дифференцируя по отношению к осям, неподвижным в теле, и принимая во внимание уравнение моментов количеств движения (п. 22)
WXtf= р-OG X к, (34)
а также само уравнение (113), мы получим тождество
-[K-OG] = (KX*)-OG,
так что все сводится к выяснению того, когда произведение (ATX ®>) • OG, содержащее переменные р, q, г во второй степени,
J) Cm., например, Hess, Ueber die Eulerschen Bewegungsgleichnngen und iiber eine neue partikulare LGsung, и пр., Math. Annalen, т. 37, 1890, стр. 153—181. Относительно преобразования уравнений, вводящего вместо проекций векторов » и х некоторые их инвариантные комбинации, и о более углубленном разборе случая Гесса см. Note di О. Lazzarino, Rend. Асс. Lin-cei, с. 5а, т. XXVIII, 1919ь стр. 325—531.341—346 и 1919,, стр. 9—14, 259—263, 329—333, 422-426, 489-493.
170
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО, НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
делится на произведение AT • OG, линейное по отношению к тем же
переменным. Заметим, кстати, что так как (К X «о) • OG, по крайней
мере с точностью до множителя U), является не чем иным, как левой частью уравнения конуса Штауде (п. 25), последнее обстоятельство равносильно тому, что этот конус распадается на две плоскости, одна из которых является плоскостью, перпендикулярной к моменту К,
Apy1 + Bqy^ + Crys = 0.
Если обозначим через up -j- vq -j- wr неизвестную линейную форму, то придем к условному тождеству
(МX ®>) • OG = {up -j- vq -f- wr) К • OG, равносильному системе
Ax0U = 0, By0V = 0, Cz0W = 0; (Н4)
X0 (В — С) = vCz0 -f wBy0, I у0{С—A) = WAx0+- uCz0, j (115)
z0 (А — В) = иВу0 -j- VAx0. J
Из уравнений (114) следует, что нулями должны быть или все три величины л:0, у0, Z0, или все три искомые величины и, V, W, или же два числа одной из этих двух троек и. одно, не соответствующее им, другой.
Оба случая, X0 = у0 = Z0 = 0 и и == v = W = O, надо сразу же исключить, так как первый приводит к движению по Пуансо (случай Эйлера) тяжелого твердого тела, закрепленного в его центре тяжесги, а второй вследствие соотношений (115) — к твердому телу, имеющему эллипсоидом инерции относительно неподвижной точки сферу, т. е. к частному случаю тяжелого гироскопа.
Ho каждое из предположений
Уо — Z0 = U = O, Z0 = X0 = V = О, x0=y0 = w = 0
приводит в силу соотношений (115) к одному из только что исключенных случаев.
Поэтому остается рассмотреть только -три возможности
X0 = V = W = 0, y0 = w = u = 0, Z0 = U = V = O, (116)
в каждой из которых одно из соотношений (115) будет тождественно удовлетворяться, а другие две путем исключения и, V или w соответственно дадут
(А — В) Cz20 = (С—A) Byl (B-C)Axl = (A-B)Czl, (117)
(C-A) Byl = (B-C) Axl
S 9. СЛУЧАЙ С, В. КОВАЛЕВСКОЙ
171
Если исключим гироскопические случаи и для. определенности предположим
А>В>С,
то увидим, что первое и третье из предположений (116) должны быть отброшены, поскольку соответствующие соотношения (117) приводят к мнимым значениям для y0jz0 или, соответственно, х0/у0; таким образом, единственный новый случай, к которому приводит наличие'инва-рщнтного уравнения (113), соответствует второму из предположений (117) и поэтому определяется двумя структурными условиями
_у0 = 0, (В — QAxl = (А—В) Czl. (118)
Следовательно, речь идет о твердом теле, эллипсоид инерции которого относительно закрепленной точки будет трехосным, но имеющим центр тяжести на главной плоскости, проходящей через наибольшую и наименьшую из осей (у0 = 0), при дальнейшем условии, что ось, проходящая через центр тяжести, направлена в этой плоскости так, чтобы было удовлетворено второе из условий (118)1).
Это и есть случай частной интегрируемости Гесса *).
60. Случай Чаплыгина2). Рассмотрим другой случай частной интегрируемости, который с точки зрения структуры твердого тела близок к случаю Ковалевской, поскольку он характеризуется соотношением
A = В = 4С
и добавочным условием, что центр тяжести лежит на экваториальной плоскости эллипсоида инерции (Z0= 0).
