Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Для этой цели заметим прежде всего, что из того факта (отмеченного в упомянутом п. 47 предыдущей главы), что оси, неподвижные в теле, вращаются вокруг оси г относительно осей Ox'y'z' с угловой скоростью ср, следует, что всякая материальная точка диска, совпадающая в рассматриваемый момент с точкой касания О диска с плоскостью, имеет относительно осей Ox'y'z' скорость а<ві, так что, обратно, скорость точки соприкосновения О относительно тела будет равна —а<з>і. Ho, вводя предположение о чистом качении, легко понять на основании теоремы сложения скоростей, что это есть также скорость v' точки О относительно неподвижных осей. Действительно, эта абсолютная скорость v' определяется геометрической суммой только что найденной относительной скорости и переносной скорости, т. е. скорости относительно неподвижных осей той материальной точки диска, которая в рассматриваемый момент совпадает с точкой соприкосновения О, а так как эта скорость в силу допущенного отсутствия скольжения равна нулю, то мы тотчас же заключаем, что
v' = — ayi. (15)
13*
196 ГЛ. JX. ДВИЖЕНИЯ С КАЧЕНИЕМ. СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИ
Заметим, что в последующем изложении мы будем принимать, что © не равняется тождественно нулю. Это оправдывается тем, что противоположное предположение привело бы к движению твердого тела вокруг неподвижной точки, так как при этом скорость точки прикосновения оставалась бы равной нулю.
8. Предварительные замечания динамического характера. После этих предварительных кинематических замечаний мы должны вычислить, имея в виду основное уравнение (14), количество движения Q, результирующий момент К количеств движения относительно точки О и, наконец, результирующий момент Ni внешних сил.
К выражениям векторов Q и К мы быстрее всего придем, если возьмем производную на основании правил п. 15 гл. IV от живой силы или, еще проще, применяя прямо формулы (297), (ЗО7) того же пункта, HO для этого необходимо прежде всего отнести тело к какой-нибудь неподвижной в теле системе осей. Имея в виду какой-нибудь определенный момент времени, мы примем за неподвижную в теле ту систему осей, которая в рассматриваемый момент совпадает с Ox'y'z' и имеет поэтому, как это и требуется для нашей цели, начало в точке, выбранной за центр приведения моментов.
Вместе с этой системой мы рассмотрим систему Qxyz, имеющую началом центр тяжести О с координатами 0, a, Z0 и оси, соответственно параллельные и одинаково направленные с осями х', у', z'. Вследствие гироскопической структуры тела относительно оси г,
совпадающей с осью г, система Qxyz, как бы ни были внутри тела направлены оси х, у, состоит из главных центральных осей инерции, а соответствующие главные центральные моменты инерции тела относительно осей х, у оба равны А\ момент инерции относительно оси z мы обозначим, как обычно, через С. Отсюда на основании теоремы Гюйгенса (т. I, гл. X, п. 21) мы выводим, что моменты инерции относительно осей х’, у', z' определяются равенствами
A1 = А-\-т(а%-{-zl), B1- A-\-mz\, C1-Ста , (16)
где т обозначает полную массу тела; с другой стороны, принимая во внимание, что между координатами любой точки двух систем,
Ox'y'z' и Gxyz, имеют место соотношения
X1 = X, у'=у-\-а, z' = z-\-z0
и что, так как G есть центр "тяжести, статические моменты
относительно трех координатных плоскостей системы Gxyz будут тождественно равны нулю; находим, что центробежные моменты
§ 2. КРУГОВОЙ ТЯЖЕЛЫЙ ДИСК
197
}у' — Hiz0P, Qz.= тар-, 1
j—maz0r, KzI = ClT — maz0q, f
относительно системы Ох'у'г— будут иметь следующие значения:
A1 = maz0, Si = Ci = O. (17)
Здесь важно отметить, что выражения (16), (17) для моментов рнерции и центробежных моментов относительно системы, неподвижной в теле и совпадающей в какой-нибудь произвольный момент времени с системой Ох'у'г', не будут зависеть от этого момента, гак что они в любой момент остаются в силе по отношению к тем осям, которые мы приняли для построения системы Ох'у'г'.
Установив это, применим формулу (29'), (30') п. 15 гл. IV, принимая во внимание, что так как в качестве осей проекций в какой-либо произвольный момент времени мы берем оси, связанные с телом и совпадающие в этот момент с осями Ох'у'г', то проекции и, V, w скорости поступательного движения тела, совпадающей со скоростью точки О, при чистом качении тела равны нулю. Таким образом, для проекций векторов Q и К мы получим выражения
Qx, = т (,z0q — ar), Qy> =
Kx' = A1P, Ky'= В ^q-
где Av B1, C1 обозначают моменты инерции (16); эти выражения в силу замечания, сделанного выше, относительно величин (16), (17) в любой момент остаются в силе по отношению к осям Ох'у'г', хотя эти оси на самом деле являются подвижными относительно тела.
Наконец, остается определить только результирующий момент относительно точки Q внешних сил. Эти силы сводятся к силе тяжести mg, приложенной в точке О, и к реакции опоры, которая возникает в О. Реакция ничего не прибавляет к моменту М, благодаря чему и оказывается удобным выбор центра моментов в точке соприкосновения. Поэтому имеем
