Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Так, например, если С есть дуга окружности с радиусом г, имеющей центр Q на оси Gz0 и именно в точке с координатами О, р, то, проектируя ломаную GQO на GP, получим
/г = р cos 9 —{- е, (34)
откуда следует
h! = — р sin 0; (35)
достаточно подставить эти значения h и h' в уравнения (33), чтобы иметь параметрические уравнения дуги окружности. Необходимо заметить, что уравнения (33) остаются в силе и в предельном случае, когда при 8, стремящемся к нулю, дуга окружности сводится к точке.
Возвращаясь, наконец, к общему случаю, заметим, что если рассматривается система осей OyfZf, соответственно параллельных осям Gy0Z0 и направленных в обратную сторону, то ^y0, Z0 можно истолковать как координаты точки G относительно новой системы.
18. Случай твердого тела с круглым основанием (и, в частности, случай диска). Если у0, Z0, вместо того чтобы изменяться в зависимости от угла 0, остаются постоянными (положительными) при изменении 0, то мы, очевидно, имеем случай твердого тела с круглым основанием, соприкасающегося с плоскостью в некоторой, вполне определенной относительно осей Gy0Z0 точке; при движении тела точка касания перемещается вдоль окружности, неподвижной в теле с радиусом а = у0- Для диска, кроме того, имеем еще Z0- 0. Во всяком случае всегда остаются в силе уравнения (31), (32) и другие, установленные ранее, формулы.
19. Система отсчета для тела вращения. После этих предварительных замечаний обратимся к телу вращения вокруг оси г, имеющему по отношению к этой оси гироскопическую структуру, что обязательно будет иметь место, если симметрия относительно ОСИ Z будет не только геометрической, но также и материальной; предположим, что тело может свободно двигаться, опираясь на горизонтальную плоскость я. Если О есть точка, в которой в некоторый момент происходит соприкосновение между телом и опорной плоскостью, a G есть центр тяжести твердого тела, необходимо лежащий на оси симметрии z, то плоскость меридиана Oz, проходящая через точку соприкосновения, обязательно будет вертикальной, как плоскость, перпендикулярная к касательной в точке О к параллели твердого тела, лежащей в плоскости те.
Для постановки задачи о движении рассматриваемого нами тела вращения введем и здесь три системы осей: систему (неподвижную)
§ 1 ТЯЖЕЛОЕ ТЕЛО ВРАЩЕНИЯ НА ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ 211
QfyC, плоскость которой совпадает с опорной плоскостью и ось С (вертикальная) направлена вверх, систему Gxyz, неподвижную в теле, в которой, ограничивая, если необходимо, наши исследования подходящим промежутком времени, будем предполагать ось z (гироскопическую для твердого тела) направленной вверх от опорной плоскости, и, наконец, систему Ох'у'г', которую будем называть также стереонодальной, поскольку мы предполагаем, что ось Oz' параллельна Gz и ось Ox' представляет собой касательную к параллели твердого тела, проходящей через точку О, и, следовательно, параллельна линии узлов системы Gxyz относительно неподвижной системы.
Отсюда следует, что ось Oy' лежит в вертикальной меридианной плоскости OGz и перпендикулярна к Gz.
Пересечение поверхности тела с этой вертикальной плоскостью OGz дает как раз кривую, изображенную на фиг. 28 предыдущего пункта, которую мы воспроизводим здесь (фиг. 28), упраздняя оси Gy0Z0, теперь уже бесполезные; заметим, что первую стереонодальную ось Ox' надо полагать перпендикулярной к плоскости фигуры и направленной так, чтобы система Ох'у'г' была правой.
Рассмотренный в предыдущем пункте угол 0 является здесь третьим углом Эйлера (или углом нутации) системы, неподвижной в теле (й также углом нутации стереонодальной системы), относительно неподвижной системы; координатами же центра тяжести G относительно стереонодальных осей будут 0, у0, Z0, где у0, Z0 суть функции угла
0, определяемые уравнениями (33) (п. 17), если при этом в качестве функции h (0) берется функция, соответствующая меридианной кривой рассматриваемого здесь твердого тела вращения.
Заметим, наконец, что гироскопическое тело с круглым основанием (п. 18) представляет собой предельный случай рассмотренного здесь тела вращения, когда при наличии острого кругового ребра соприкосновение с опорной плоскостью может происходить только в точках некоторой окружности. В этом случае у0, zt, очевидно, будут постоянными (т. е. не зависящими от 0).
20. Движение тяжелого твердого тела вращения в случае отсутствия трения. Каковы бы ни были силы, действующие на твердое тело, движение его и в этом случае определяется, как обычно, основными уравнениями. Ограничиваясь, как было сказано вначале, случаем, когда приложенной силой является исключительно сила тяжести, мы покажем прежде всего, что в том случае, когда опорная плоскость абсолютно гладкая, задача может быть сведена к квадратурам.
14*
212 ГЛ. IX. ДВИЖЕНИЯ С КАЧЕНИЕМ. СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ. ДВИЖЕНИЯМИ
Из первого основного уравнения
(36)
вследствие того, что результирующая сила R, равно как и ее составляющие (вес и реакция опоры), вертикальна, мы видим, что горизонтальная составляющая производной dQjdt будет все время равна нулю; поэтому горизонтальная составляющая количества движения Q будет постоянна, а следовательно, на основании тождества Q = mvQ (гл. IV, п. 12) будет постоянна и горизонтальная составляющая скорости Vg центра тяжести. Таким образом, при отсутствии трения горизонтальная проекция P центра тяжести движется прямолинейно и равномерно.
