Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
S 1. БИЛЛИАРДНЫЙ ШАР
185
плоскости, то скорость точки С определится, как известно, равенством
ос;
отсюда мы видим, что эта скорость, если она не равна нулю, лежит в плоскости C = O. Таким образом, мы должны отличать моменты, когда шар скользит по плоскости (vff ф 0), от моментов, когда он находится в состоянии чистого качения вокруг оси, проходящей через С и лежащей в опорной плоскости (Off = O).
В ближайшем пункте мы подтвердим, что всякая фаза движения со скольжением после некоторого конечного промежутка времени необходимо оканчивается состоянием чистого качения, т. е. скорость Vq при этом обращается в нуль; если в некоторый момент tx выполняется это последнее условие, то дальнейшее движение шара может представлять собой только чистое качение.
Поэтому в более общем случае движение шара по плоскости при принятых условиях будет состоять из двух различных фаз: за начальной фазой движения со скольжением следует фаза чистого качения.
2. Фаза скольжения. Обозначив для простоты через v скорость скольжения, которую выше мы обозначали через V0, т. е. скорость точки шара, находящейся в данный момент в соприкосновении с плоскостью, возьмем для нее выражение
® = vO + ® X ОС
через характеристические векторы P0 и о) движения шара, относящиеся к точке О, и спроектируем это равенство на оси \ и yj. Обозначая, как обычно, через и, і, р проекции угловой скорости на ОСИ %, TQ, С, получим
^ = « —W4 = P +я™- (1)
С другой стороны, если в фазе скольжения (т. е. в предположении V^j=-Qi) обозначим через N нормальную составляющую реакции опоры Ф, а через А — силу трения (т. е. касательную составляющую Ф), то в силу законов динамического трения получим
Ai = -ZN^-, Ащ — fN —¦, Ac = О,
где / означает коэффициент трения между плоскостью и шаром, который надо считать известным.
Замечая теперь, что внешние силы сводятся в данном случае к весу и к реакции плоскости, мы можем легко дать явный вид основным уравнениям движения шара относительно центра тяжести О
dQ „ dK
186 ГЛ. IX. ДВИЖЕНИЯ С КАЧЕНИЕМ. СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИ
Обозначая через т массу шара и припоминая, что Q = mv0 (гл. IV, п. 12), получим после проектирования первого уравнения на неподвижные оси
та = —f, ni$=—fNV-±, 0 = — mq + N (2)
или же, по исключении N,
« = 0=-/??- (20
Что же касается второго основного уравнения, то вспомним, что для
шара всякий диаметр есть главная ось инерции и что момент инерции
шара относительно какого-нибудь диаметра определяется равенством
/=|-тЯ2.
Следовательно, на основании известных соотношений между проекциями векторов результирующего момента количеств движения к и угловой скорости (I) имеем
Ki = ^mR**, Kri = -InR^1, K = ^mRt9,
а так как путем прямого вычисления находим
Mi = —fmRg?l, —fmRg . Aff- = O,
то, проектируя основное уравнение моментов на неподвижные оси, придем к трем уравнениям
2 • - V-q 2 . Vr • ,„S
Т7С~ fg~Rv’ р = 0- ()
Последнее из них показывает, что во время движения вертикальная составляющая угловой скорости о) остается постоянной. Для остальных шести неизвестных а, |3, тг, у, v имеем шесть уравнений (1), (20, (3).
Интегрирование почти очевидно. Дифференцируя уравнения (1) и
исключая а, р, тс, у при помощи уравнений (2), (3), получим
7 Vi . 7 «
^ = --j
поэтому, вводя угол 0, составляемый в плоскости C=O вектором V с осью S, так что имеем
Vi-Vcosb, O4 = OsinG,
§ 1. БИЛЛИАРДНЫЙ ШАР
187
и принимая во внимание известные тождества (т. I, гл. II, пп. 20 и 19)
v4 = ViVli — ViVv --^v* V-Vi-]-V1Vn,
заключаем, что
б=°> %—w <4>
Отсюда, во-первых, следует, что скорости тех точек шара, которые последовательно приходят в соприкосновение с плоскостью, имеют в соответствующие моменты соприкосновения одинаковые направление и сторону, и, во-вторых, для общей величины этих скоростей мы получаем выражение
V = V0- \fgt,
где Vй есть начальное значение v, которое на основании соотношений (1) можно выразить при помощи начальных значений а, {3, те и у.
Таким образом, как уже указывалось в предыдущем пункте, по истечении конечного промежутка времени
2 «о
1 “ 7 fg
скорость V обращается в нуль. Теперь легко убедиться, что в этот момент кончается первая фаза движения, так как скорость о, начиная с этого момента, должна быть постоянно равна нулю. Действительно, если бы v, изменяясь непрерывно, принимала при t > Z1 положительные значения, то ее производная должна быть положительной при t = tu а следовательно, и тотчас же после этого момента; но при тех же самых предположениях были бы справедливы сделанные ранее выводы для моментов времени, непосредственно следующих за tu и, в частности, оставалось бы в силе второе из уравнений (4), которое
Здесь показывает, что должно быть ^ < 0.
Поэтому, действительно, в момент t=tx оканчивается фаза скольжения, чтобы уступить место последующей фазе чистого йачения.
Остановимся еще на первой фазе движения для вычисления аир и возьмем одну из осей опорной плоскости, например Yj, в направлении (неизменном) скорости V, благодаря чему, так как Vi = 0, V71 = V, уравнения (2) принимают вид
