Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-Чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 2" -> 78

Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.

Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 2 — Москва, 1951. — 556 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteorticheskoyfiziki1951.djvu
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 230 >> Следующая


« = 0, P = — fg0. (5)

Отсюда следует, что движение точки С по опорной плоскости *) (и, следовательно, центра О сферы в горизонтальной плоскости) составляется из равномерного движения по оси $ и равнозамедленного

*) Речь идет о движении геометрической точки С, а не о движении точки тела. (Прим. ред.)
188 ГЛ. IX. ДВИЖЕНИЯ С КАЧЕНИЕМ. СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИ

движения по оси ї], так что, вообще говоря, движение происходит по параболе, ось которой параллельна постоянной скорости скольжения V.

Движение точки С может свестись, в частности, к простому прямолинейному равнозамедленному движению; это произойдет тогда и только

тогда, когда будет равно нулю начальное значение а0 величины а; это можно также (независимо от специального выбора осей, принятого выше) выразить условием, что начальная скорость а0, (?0, О центра должна быть направлена так же, как скорость v скольжения. Аналитически это условие, на основании уравнений (1), если написать их для начального момента, выражается равенством

Ot0U0 -{- ^'°-/° = О,

так что можно сказать, что центр шара будет двигаться прямолинейно только тогда, когда в начале движения скорость этого центра перпендикулярна к угловой скорости.

Закон, по которому изменяются с временем проекции и и ^ угловой скорости, определяется во всех случаях уравнениями (3), которые в предположении, что ось ї] идет в направлении (неизменном) скорости скольжения, принимают вид

2 R’

it

х = о;

из этих уравнений следует, что проекция X (в направлении скорости скольжения) постоянна, так же как и вертикальная проекция р, а проекция

убывает с течением времени, пока к концу фазы скольжения, т. е. к моменту ^1, не достигнет наименьшего значения

о___5«о

71 7/?*

3. Фаза качения. При отсутствии скольжения из равенств (1) можно получить уравнения (неголономных связей чистого качения; ср. т. I, гл. VI, п. И)

а — Rx = 0, р + Ятг = 0; (6)

так как трение об опорную плоскость в этом случае полностью идет на то, чтобы препятствовать скольжению или, если угодно, чтобы в. любой момент в силу соотношений (6) ограничивать виртуальные перемещения системы, то можно применить общее уравнение динамики,
§ 1. БИЛЛИАРДНЫЙ ШАР

189

которое здесь, так как речь идет о твердом теле, принимает вид (гл. V, п. 27)

(/?(“> - %?) - 80 + (МM — g) • Sw =,= 0, (7)

где, как мы знаем, /?(“) и М(°) обозначают результирующую силу и результирующий момент относительно центра тяжести О только одних активных сил, а 80 и Sto представляют собой виртуальное поступательное перемещение и виртуальный бесконечно малый поворот шара.

Заметим теперь, что: 1) момент единственной активной силы, т. е. веса, относительно точки О равен нулю; 2) как и в предыдущем пункте имеем

Qi = тех., Qn = т$, Qr^ — 0;

Ki = Iv:, Kll = Ix, Kt = Ip при I=^mR2;

3) при любом виртуальном перемещении шара проекции вектора 80 суть 8а, 8р, 0, а проекции вектора Sto на основании уравнений (6) и определения виртуальных перемещений неголономной системы (т. I, гл. XI, п. 17) будут

8« = — Sp, 8X = aS. 8P

при произвольных 8а, 8J3, 8р.

Принимая во внимание все это, можно написать уравнение (7) в виде

(5 + I Я*) 8а + (р - § Rn) 8р -1 R2p Sp = 0;

это уравнение в силу произвольности 8а, 8р, 8р распадается на три уравнения

« + !-fix = 0. P — 4**-°, P = O. (8)

Уравнения (8) вместе с уравнениями (6) дают пять уравнений между пятью неизвестными а, р, и, /, р.

Естественно, что те же уравнения могли бы быть получены путем исключения неизвестной реакции Ф из основных уравнений.

Из последнего из уравнений (8) следует, что и в этом случае имеем р = const, а два других на основании уравнений (6) дают

а = 0, р = 0,

так что мы заключаем, что в фазе чистого качения движение центра шара будет прямолинейным и равномерным.

После этого из тех же уравнений (6) мы находим, что во время движения вместе с р остаются постоянными также тс и у, т. е. остается
190 ГЛ. IX. ДВИЖЕНИЯ С КАЧЕНИЕМ. СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИ

неизменной угловая скорость шара о>; а так как аи р в силу тех же уравнений (6) пропорциональны у и —и, то центр шара движется в направлении (параллельном плоскости опоры), перпендикулярном к угловой скорости ы.

Предыдущее заключение о бесконечной продолжительности чистого качения существенным образом зависит от условия, что мы пренебрегаем трением качения. Если бы мы приняли во внимание трение качения аналогично тому, как это делалось для диска (гл. VII, п. 19), то нашли бы, что движение должно прекратиться по истечении конечного промежутка времени.

4. Замечание о реакции Ф опорной плоскости. В предыдущем

пункте мы видели, что при уже не может быть скольжения.

Далее мы исследовали движение чистого качения, допуская неявно, что плоскость в точке опоры С способна развить такую реакцию Ф, которая обеспечивает условия (6) неголономной связи (и согласуется с принципом виртуальных работ); теоретически этот способ правилен, так как, очевидно, выполняется условие, что работа реакции связи (в силу неподвижности точки С) равна нулю. Однако, физически, нельзя отвлечься от того факта, что реакция Ф как реакция опоры подчиняется закону статического трения, т. е. должна содержаться внутри конуса трения, имеющего вершиною С. Теперь важно отметить, что это условие будет, наверное, удовлетворено в нашем случае, потому что из равномерности горизонтального движения центра тяжести непосредственно следует, что реакция Ф будет вертикальной, т. е. нормальной к плоскости опоры.
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 230 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed