Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-Чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 2" -> 71

Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.

Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 2 — Москва, 1951. — 556 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteorticheskoyfiziki1951.djvu
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 230 >> Следующая


Здесь к определению в квадратурах сю4 решений системы (34/-), (35') и, следовательно, оо5 движений тяжелого твердого тела, закрепленного в одной своей точке, мы придем уже не путем добавления к интегралам живых сил и моментов нового частного интеграла, а, придавая частное значение произвольной постоянной в одном из этих двух классических первых интегралов, а именно в интеграле моментов количеств движения, найдем, что посредством полученных

*) Это уравнение выражает, что ось ОО, проходящая через центр тяжести, должна быть нормальной к той или другой из двух действительных плоскостей круговых сечений так называемого взаимного эллипсоида инерции

х* _L У 2 _L г2 _ 1 А "Г В ‘ С ’

Cm. Жуковский, Jahresb. der Deutschen Math. Ver., т. 3, 1894, стр. 62; Somraerfeld, Gdtt. Nachr., 1898, стр. 83; К Ie in—S ora m е г f е I d, Theorie des Kreisels, стр. 380.,

*) Геометрическая интерпретация случая Гесса предложена Н. Е. Жуковским в статье ,Локсодромический маятник Гесса“, 1892. Cm. полное собрание сочинений, т. I, 1937. (Прим. ред.)

2) Cm., например, две заметки Колосова и Марколонго в Renti, del Circ Mat. di Palermo, т. XVI, 1902, стр. 346—357,
172

ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ точки

таким образом решений, удовлетворяющих инвариантному уравнению, получается новый первый интеграл.

Если и здесь проведем неподвижную в теле положительную полуось Ox через центр тяжести, то динамические уравнения (34') примут вид

4 р — Zgr — О,

4? + Zpr = — X2Y3, (119)

г = *2Ъ

где через X2 как и в п. 58, обозначена положительная постоянная Px0IC.

Естественно, что и в данном случае остается в силе интеграл моментов количеств движения относительно вертикали, который в этом случае определяется равенством

Kz = С{ 4 (PYi + ЧЪ) + а* }•

Чаплыгин заметил, что для сю4 решений системы (34'), (35'), для которых постоянная Kz моментов равна нулю, существует алгебраический интеграл третьей степени

<р == г (р2 4- ?2) 4 X2PY3 = const.

He исследуя, как Чаплыгин пришел к этому заключению, мы ограничимся его поверкой; для этого достаточно заметить, что в силу уравнений (119) и третьего из уравнений (35') имеем тождество

^« J*2? { 4 (PYi + 9Ъ) + ПГз } или же на основании выражения для Kr

Kr,

W= 4С

это соотношение, если принять во внимание предположение Kz = О, и доказывает утверждение *).

*)’В дополнение к рассмотренным случаям можно указать еще случай интегрируемости, разобранный Стекловым В. А. (В. А. Стек лов, Новое частное решение дифференциальных уравнений движения тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку. Труды Отделения физических наук Общества любителей естествознания, т. X, 1899.)

Стеклов Владимир Андреевич родился в 1863 г. в Нижнем Новгороде; умер в 1926 г. в Ленинграде.

После окончания Харьковского университета (1887 г-) был оставлен при нем и назначен ассистентом при кафедре механики (1889 г.).

В 1894 г. защитил магистерскую диссертацию на тему „О движении твердого тела в жидкости*, в 1902 г.—докторскую диссертацию на тему „Общие методы решения задач математической физики*.

С 1906 г. занимал кафедру в Петербургском университете, а в 1912 г. избран действительным членом Академии наук. В работах Стеклова В. А. рассматриваются различные вопросы движения твердого тела, гидродинамики, теории упругости, но его главные труды посвящены математической физике— обоснованию метода фундаментальных функций, (Прим. ред.)
УПРАЖНЕНИЯ

173

УПРАЖНЕНИЯ

1. Показать, что если при движении твердого тела вокруг закрепленной точки О результирующий момент внешних сил остается все время перпендикулярным к угловой скорости, то живая сила постоянна.

Это, в частности, оправдывается, если отсутствуют активные силы, и твердое тело вынуждено благодаря связям соприкасаться с неподвижной поверхностью без трения.

2. Доказать, что в твердом теле, закрепленном в одной из своих точек О, геометрическое место линий действия момента К, приложенного в точке О, представляет собой конус второго порядка, уравнение которого относительно главных осей инерции по отношению к точке О при принятых в тексте обозначениях имеет вид

а уравнение

есть уравнение конуса, образующие которого перпендикулярны к векторам «* и К одновременно.

3. Для твердого тела, находящегося в движении по Пуансо вокруг одной из своих точек О и отнесенного к своим главным осям инерции относительно точки О, эллипсоиды, уравнения которых имеют вид

A2X2+ B2y'*+ C2Z2 = D,

где D обозначает существенно положительную постоянную АГ2/2?, называются кинетическими эллипсоидами.

Доказать, что при движении твердого тела по инерции площадь диаметрального сечения этого эллипсоида, параллельная неподвижной плоскости т, с которой согласно представлению Пуансо соприкасается эллипсоид инерции, остается постоянной.

4. Из п. 14 следует, что при движении по инерции тела с гироскопической структурой относительно неподвижной точки оба конуса Пуансо будут конусами вращения. Доказать, что ерли эллипсоид инерции будет сплюснутым, то половина угла при вершине у неподвижного конуса не может превосходить 19328\
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 230 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed