Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
dQ «
dt ='yW'
С другой стороны, имеем (упражнение 5)
O^ = OQ-OO1 =-^=- К
У2 E KYО’
176
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
в силу тождества
~ж=к-ш'
отсюда для движения Пуансо, в котором T сохраняет постоянную величину Е, следует К • w = 0.
Таким образом, мы приходим к уравнению
dp2 1 ~dt=Em"*'
которое после развертывания скалярного произведение на основании урав-нений Эйлера [(5') из п. 8] и подстановки вместо р, q, г выражений х УЩ у Y^E> г V перейдет в следующее:
dP2 о лГъй(в — с . с~Л , А — В\
-It =2 Г2Е{-А- + ~В~+ ~С~)ХУ*-
Теперь достаточно принять во Рнимание равенства (2) и и? = p2-f- 1/D, чтобы этому дифференциальному ура і пению придать вид
(6)
где Zr Cp2J означает многочлен третьей степени относительно р2.
Переходя теперь к а, мы выразим аналогично через р2 производную от а по t или, что будет более удобно, удвоенную секторную скорость р8 da/d/ полюса Q в плоскости t относительно точки Oi. Речь идет о скалярной величине, которая получится от проектирования вектора
на ориентированное направление К (нормальное к т) так что можно будет написать
. da. I dO —^
P2d7 = X^X^0l(?-
Достаточно принять теперь во внимание выведенные выше выражения для dQjdt и OiQ, чтобы получить
о da 1
dt 2 EK
ю X К • »•
После этого, развертывая определитель, соответствующий смешанному произведению в правой части, по составляющим вектора К и принимая во внимание первые интегралы движения (20) и (21') из п. 9, мы придем к уравнению
p2^ = _i_ (V+ Ba* MB-V , с 2EC-J2X Р dt 2EK ХР BC ^ 4 CA + AB )’
которое, после подстановки вместо р2, q2, г2 их выражений через р2 = ы2— IjD (упражнение 5), сведется к следующему:
P2-S=-I (р2+^ <7>
где
ь (A-D)(B-D)(C-D)
~ ABCD
УПРАЖНЕНИЯ
177
Из уравнений (6), (7) следует, что дифференциальным уравнением гер-полодии, если положим р2 = С, будет
jfc = 2E C + ft Л К С VTTtT
Оно приводит в общем случае к одной эллиптической квадратуре. Показать, что в частном случае D = B квадратура может быть выполнена в элементарных трансцендентных функциях.
8. Второе представление Пуансо для движения твердого тела с одной закрепленной точкой. Показать сначала (гл. IV, п. 18), что проекция угловой скорости » на направление нормали к плоскости х (т. е. на направление вектора К) будет постоянной, и еслн ориентируем это направление в ту же сторону, что и вектор К. то она будет равна 2EjK. Следовательно, составляющую M1 вектора » в плоскости т можно представить в виде
где, как и в упражнении 3, положено D = Щ2Е. Заметив это, рассмотреть вместо неподвижной плоскости х ту плоскость X1, проходящую через О и параллельную х, которая вращается с угловой скоростью (2EjK?) К вокруг неподвижной линии действия вектора К (перпендикулярного к ней). Угловая скорость твердого тела относительно этой плоскости X1 на основании теоремы сложения вращений будет, очевидно, представлена вектором »1( который в силу построения лежит в T1, так что в относительном движении твердого тела, по отношению к T1, неподвижный конус А Пуансо сводится к самой плоскости X1, и движение можно осуществить путем качения без скольжения по плоскости X1 конуса, неподвижного в теле, геометрического места линий действия вектора W1 (приложенного в О). Доказать, что этот конус будет конусом второго порядка. Для этой цели заметим, что если мы обозначим через Jt1, Jz1, Z1 проекции вектора W1, то на основании геометрического равенства (8) будем иметь
x^i1-Wy
так как р, q, г, так же как и проекции х, у, z вектора OQ, удовлетворяют некоторому однородному квадратному уравнению (упражнение 5), то то же будет иметь место и для X1, ylt Z1.
Дарбу1), используя это второе представление Пуансо, предложил прибор, на котором можно проследить не только последовательность положений, занимаемых телом, но также и закон движения.
9. Проверить путем рассуждений, аналогичных приведенным в п. 29, что тяжелый твердый стержень, закрепленный в одной точке, динамически эквивалентен (гл. V, п. 38) сферическому маятнику.
10. Динамическая эквивалентность тяжелого гироскопа сферическому гироскопу (т. е. гироскопу, имеющему эллипсоидом инерции относительно неподвиж-аой точки сферу). Первые интегралы (42), (44), (45) из п. 27 при обозначениях
г' = —г E' = E-1-і С~~— Cr2
r Ar' + 2 А
J) Заметка Despeyrous, Cours de Mecanlqne; т. 2, Paris, 1884—1886.
12 Зек. 2368. Т. Леви-Чивита и У. Амальди
178
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
можно написать в виде
r' = const,
А (Pb + чъ + г т3) = к\,
\а (р* ¦+ q*+ г'2) - Pz0I3 = E'-
в этой форме они определяют движение тяжелого сферического гироскопа» имеющего g данным общие структурные параметры А, Р, Z0 и значения аргументов р, q, J1, -(2, ^3, а постоянная г должна быть заменена через
, С
Г' = —г г.
А
Это доказывает, что любой тяжелый гироскоп, у которого А к С представляют собой экваториальный и осевой моменты инерции, движется как сферический гироскоп с моментом инерции А, но имеет другую угловую скорость собственного вращения. Так как