Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
момента M — GO X Ф на оси х'> У\ г> и на вертикаль С выражения
Мх< = Z0E — y0Z, Му’=— г0Е, Мг, = у0Е,
Mt == yfMx, 4- ysMj,r -j-jgMi,,
§ з; ТЯЖЕЛОЕ ТЕЛО ВРАЩЕНИЯ HA ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ плоскости 215
последнее из которых, если принять во внимание предыдущие три равенства, Y1 = О, у3 = sin 0, у3 = cos 0, а также уравнение (32') п. 17, принимает вид
Afr = (у0 cos О — z0 sin 0) 3 = h'E.
После этого, проектируя основное уравнение (37) на вертикаль (неподвижную) С и на гироскопическую ось z, мы получим уравнения
/С, = h'E, Cr =J0S;
исключая E1 приходим к уравнению
y0K,-Ck'r = 0, (42)
где, конечно, вместо у0 надо подставить, его выражение через 0, получающееся из первого из уравнений (33); для Kt остается еще справедливым выражение, получающееся из левой части уравнения (40), если заменить в нем г0 на г, так что имеем
/Cr == Aty sin2 0 -{- Cr cos 9. (43)
До тех пор пока не сделано никакого определенного предположения о форме тела, т. е., по существу, о виде функции А (0), уравнение (42) не может быть проинтегрировано непосредственно. В случае волчка с округленным основанием (ножка, оканчивающаяся полусферой) имеем (п. 17)
h = р cos 0 е, h' =— р sin 0, у0 = s sin 0,
так что уравнение (42), если предположить, что sin0>O (т. е. если исключить случай, когда ось волчка расположена вертикально), принимает непосредственно интегрируемую форму
е/Сс-J-Cpr = O.
Интегрируя от начального момента /0 до любого момента t и пользуясь обычным значением символа конечного приращения, мы получим выражение
зД/Сг -J- CpAr = 0, (44)
которое приводит к замечательному заключению, когда речь идет о волчке, приведенном в очень быстрое вращательное движение и предоставленном самому себе на горизонтальном полу под некоторым, не равным нулю, углом 0О, но без прецессионной скорости ('iQ = 0). Для промежутка времени, в течение которого угловая скорость ф остается ничтожной по сравнению с г, на основании уравнения (43) приблизительно будем иметь
= Cr cos 0,
216 ГЛ. IX. ДВИЖЕНИЯ С КАЧЕНИЕМ. СИСТЕМЫ С UHKflHMECKtlMH ДВИЖЕНИЯМИ
так что уравнение (44) приведется к некоторому соотношению между одновременными конечными приращениями величин гиб
eA(rcosQ) = — р Ar. (44')
Так как мы допустили, что точка соприкосновения ножки волчка с плоскостью не лежит на оси (O0=SrO) и чт0) с другой стороны, движение твердого тела мало отличается от простого вращения с значительной угловой скоростью около оси Gz, то очевидно, что трение, действуя в любой момент в направлении, прямо противоположном скорости точки волчка, приходящей в соприкосновение с плоскостью, стремится уменьшить величину I ГI угловой скорости вращения. Если предположим для определенности г > 0, то будем иметь Ar < 0 и потому на основании соотношения (44') будет
Л (г cos 9) > 0; (45)
отсюда, так как произведение rcosO, как доказано, возрастает, а первый множитель убывает, мы заключаем, что в моменты, непосредственно следующие за начальным, cosQ возрастает, т. е. угол нутации 0 начинает убывать. Таким образом, если имеют место указанные выше начальные условия, то влияние трения в начале движения проявляется в том, что ось ^волчка приближается к вертикали, направленной вверх (стремится выпрямиться).
Для того чтобы иметь представление количественного характера
о соотношении между этим выпрямлением оси и одновременным замедлением вращения вокруг этой оси, мы применим соотношение (44') к числовому .случаю. Для этой цели заметим сначала, что для относительной потери угловой скорости
из формулы (44') мы получим выражение
, _ г (cos 0 — COS 0О) ,
є cos в + р ’
поэтому полное выпрямление оси (0 = 0) сопровождается относительной потерей скорости
^ _ г (1 — cosflp) е + р
Если, например, предположим з = 3 мм; р — 5 см, 0О = 45°, то приблизительно найдем
I = 0,014.
Мы видим, таким образом, что явление, происходящее от трения
об опорную плоскость, будет резко бросаться в глаза, потому что при выпрямлении волчка угловая скорость испытывает почти незаметное уменьшение: немного больше одной сотой его начальной ^личины,
§ 3. ТЯЙСЕЛОЕ ТЕЛО ВРАЩЕНИЯ HA ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ 217
23. Дифференциальные уравнения движения в случае чистого качения. В заключение, возвращаясь к случаю твердого тела вращения с каким угодно меридианным сечением, обладающего гироскопической структурой, приведем здесь в явном виде уравнения, определяющие его движение, предполагая, что это движение происходит без скольжения.
В этом случае, так же как и в случае диска или тела гироскопической структуры с круглым основанием, закон движения вполне определяется вторым основным уравнением, если только за центр приведения в любой момент принимается та точка твердого тела, которая в этот момент совпадает с точкой соприкосновения тела с плоскостью. Вследствие этого автоматически исключается неизвестная реакция Ф и основное уравнение моментов принимает вид (гл. V, п. 17)
КX К-\-v'X Q = -OGXmg*, (46)
где и/ обозначает угловую скорость стереонодальной системы Ох'у'г', относительно которой взята производная К, a v' обозначает скорость (абсолютную), которую в любой момент имеет точка соприкосновения О. Если примем во внимание, что координаты центра тяжести суть 0, у0, Z0, то- для моментов инерции и моментов девиации (центробежных моментов) относительно стереонодальной системы найдем выражения
