Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
25. Основное уравнение моментов для гиростата. В случае гиростата, так как он не является вполне неизменяемой системой, нельзя
220 ГЛ. IX. ДВИЖЕНИЯ С КАЧЕНИЕМ, системы С ЦИКЛИЧЕСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИ
уже сказать, что основные уравнения, оставаясь в силе, будут, вообще говоря, достаточны для определения движения. Чтобы точнее указать, в чем заключается недостаточность этих уравнений, приведем пример, показывающий, что ее можно устранить, и рассмотрим сначала случай, когда неизменяемая часть 5 гиростата S закреплена в одной из своих точек О. Для определения движения твердого тела, закрепленного таким образом, достаточно основного уравнения моментов. Посмотрим, что может дать это уравнение в случае гиростата.
Представим себе, что (абсолютный) результирующий момент количеств движения гиростата относительно точки О разложен на два слагаемых, указанных в конце предыдущего пункта: на вектор AT, происходящий от переносного движения, и на вектор Х> появляющийся благодаря внутренним движениям и называемый гиростатическим моментом. В силу этого основное уравнение моментов принимает вид
= я, (47)
где дифференцирование надо отнести к неподвижным осям, a M обозначает результирующий момент относительно точки О всех внешних СИЛ, Приложенных KO всей системе ?; если обозначить через (!) угловую скорость неизменяемой части S, то это же уравнение можно написать в равносильной форме
*+ X + ® X (AT+ X) = At- (47')
где, как обычно, точками, поставленными сверху, обозначаются производные ПО времени ОТ AT и X, отнесенные к триедру, неизменно связанному с S.
Если за основные неизвестные принимаются углы Эйлера 0, «р, ф, определяющйе относительно неподвижных осей, проходящих через точку О, положение неизменяемой части 5, то векторы ы и AT могут быть выражены в функциях от 0, <в, ф и от их первых производных. То же самое можно сказать и о векторе М, если мы ограничимся случаем (который не является наиболее общим из возможных), когда внешние силы, предполагающиеся заданными, зависят от положения и состояния движения одной только твердой части S. Остается еще гиростатический момент у_, который выражает влияние циклических движений; уравнение (47) или равносильное ему уравнение (47') уже не будет достаточным для постановки задачи о движении системы ? до тех пор, пока не удастся каким-нибудь способом определить вектор х> Для чего, вообще говоря, требуется изучение механического поведения частей S' системы ?. Рассмотрим пока частный случай, пригодный для интересных приложений, когда задача упрощается, поскольку сами предположения позволяют заранее видеть, что гиростатический момент X является постоянным, В общем случае, следуя
§ 4. ГИРОСТАТЫ. УСТАНОВИВШИЕСЯ ЦИКЛИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ 221
Вольтерра1), мы можем заметить, что если уже определено вращательное движение неизменяемой части 5 и известен результирующий момент M внешних сил, то уравнение (47) или (47') определит момент х, поскольку оно дает систему дифференциальных уравнений первого порядка относительно соответствующих составляющих.
26. Движение гиростата вокруг центра тяжести. Понятие о задаче
об изменении широт. Основное уравнение моментов сохраняет, как известно, для материальной системы свой вид (47') также и в том случае, когда центр моментов во все время движения совпадает с центром тяжести системы. Это, в частности, имеет силу также и для гиростата, центр тяжести G которого в силу самого определения системы является точкой, неизменно связанной с твердой частью S. Как уже было отмечено выше (п. 24), то же самое можно сказать и о главных осях инерции относительно точки G, так что уравнение (47') продолжает оставаться в силе, если оно отнесено к этим осям. Это уравнение и в данном случае может однозначно определить гиростатический момент /, если известно движение 5 около G и задан результирующий момент внешних сил.
Эти замечания нашли интересное применение в так называемой задаче об изменении широт. Эта задача ведет свое начало от того факта, полученного из наблюдений, что движение Земли около ее центра тяжести не только не является простым суточным вращением, рассматриваемым в элементарной космографии, но, строго говоря, не является даже регулярной прецессией, понятие о которой мы дали в п. 20 гл. IV т. I, и даже не представляет собой то общее возмущенное движение (которым мы будем заниматься в п. 61 следующей главы), которое могла бы предвидеть механика абсолютно неизменяемых тел, когда принимается во внимание лунно-солнечное притяжение. Остаются необъяснимыми некоторые дальнейшие малые перемещения мгновенной оси вращения Земли как относительно полярной земной оси, так и относительно неподвижных звезд. Именно эти весьма малые перемещения мгновенной оси относительно неподвижных звезд и вызывают так называемые изменения широт (на небесной сфере).
Эти изменения, которые при содействии международной комиссии в течение многих лет являются предметом аккуратных наблюдений и систематических исследований на специальных станциях а), с полным основанием приписываются несовершенной твердости Земли.
