Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
к основные уравнения движения, которые, если принять во внимание, что проекции веса суть mgsini, 0, —mg cos і и проекции реакции Ф плоскости ФЕ, O11, Фг = JV1 можно написать в виде
а = — ~f g sin I, р = — Фт, 0 = — g cos і -f і N; (2)
т ч іь ’vml 'm ' '
2» 1 , 2* 1 л
5Р = °- (3)
*) KIein-Sommerfeld, Theorie d. Kreisels т. IV; Gray, Qyrostatics and rotational motion, 1918, гл. VII; J. Reveille, Dynamique des solldes, 1923, гл. VI.
*) Гироскопы, предназначенные для стабилизации, связаны с объектом стабилизации не так, как это изложено в тексте.
Описание и изложение теории гироскопических стабилизаторов можно найти в книгах: А. Н. Крылов и Ю. А. Крутков, Общая теория гироскопов, 1932; Б. В. Булгаков, Прикладная теория гироскопов, 1938.
Крылов Алексей Николаевич родился в 1863 г. в г. Алатыре Ульяновской обл.; умер в Ленинграде в 1945 г. В 1890 г. окончил кораблестроительное отделение Морской академии и был оставлен при ней для усовершенствования; первое время вел практические занятия по математике, а впоследствии читал лекции по математике и теории корабля. Одновременно с плодотворной и разносторонней научной деятельностью вел практическую и организационную работу в качестве главного инспектора кораблестроения. В 1916 г. был избран в действительные члены Академии Наук и назначен директором Главной физической обсерватории.
Научные работы А. Н. Крылова охватывают многие отделы прикладной математики, механики, аэродинамики, геофизики и разнообразные вопросы техники. Уже в первых своих работах по теории корабля он зарекомендовал себя выдающимся и оригинальным исследователем и приобрел мировую известность. В своих работах по баллистике, по теории компасов, по строительной механике он сочетал строгий научный подход к решению конкретных технических проблем с поразительной простотой и ясностью изложения и всегда доводил анализ решения до практически важных выводов. {Прим. ред.)
упражнения 227
После исключения из уравнений (2) и (3) реакций, т. е. Ф^, ФТі, N, получим три уравнения
a-^Rx-^sin р+-^tfic = O, р = 0, (4)
которые сохраняют силу в течение всего времени движения независимо от того, будет ли иметь место скольжение шара по плоскости или нет. Уравнения (4) непосредственно интегрируются:
2 *2
“ --J Ri = ?sin It+Cu p+-g-/?n = c2, P = C3. (40
где C1, с2, Cg означают постоянные интегрирования. Ho теперь, чтобы идти дальше в изучении вопроса, надо отличать, как и в § 1, фазу скольжения, когда и > 0, от фазы чистого качения.
а) Фаза скольжения. В этом случае для реакции Ф имеет место закон динамического трения, т. е. проекции ??, Фч касательной реакции имеют значения—/Nv^v, —/NvrJv. Заметив это, мы поступим так же, как в п. 2, и после исключения из уравнений (1), (2), (3) величин а, р, я, х. р, Ar получим уравнения
7 , .Ve . . .
V( = — -gfg cos I + ^sin /,
7 , .Vn
Vr=- j fg COS I -J;
эти уравнения, если ввести в них вместо wj, Vti абсолютную величину v скорости V скольжения и угол отклонения ее от линии наибольшего ската, заключенный между —и и я, принимают вид
dv . ., о
: g\sm і (cos 9 — п),
dt
Й0 . . . „ v -Jt= — SSm і sin в.
(5)
где для краткости письма положено
я=4 4-г W
Заметим теперь же что нам придется различать два случая
а) Я<1;
Р) п> 1.
Принимая во внимание значение (6) постоянной п, условимся говорить что случай а) соответствует большим углам наклона, или большим наклонам (по сравнению с углом трения), случай ?) — малым углам наклона, или малым наклонам.
Прежде чем приступить к формальному интегрированию уравнений (5), надо установить некоторые особенности их поведения для фазы, которая нас интересует, когда w>0. В этой фазе угол 0 либо равен нулю для любого значения t, либо сохраняет тот же самый знак, не проходя уже через нуль. Это вытекает из следующих рассуждений. Во-первых, 0 = 0 при произвольном t составляет вполне определенное решение системы (5) (о удовлетворяет первому из уравнений (5) при 0 = 0, или уравнению
^ = ?(1 — n) sin/, (5')
15*
228 ГЛ. IX. ДВИЖЕНИЯ С КАЧЕНИЕМ, системы с циклическими ДВИЖЕНИЯМИ
и равна какому-нибудь наперед заданному значению U1 при t = ^1). С другой стороны, система (5), правильная при w>0, допускает одно и только одно решение, если при t=ty имеем 0 = 0 и V = V1. Поэтому исключается тот случай, когда, отправляясь от начального состояния движения, для которого 0=4=0, можно (без того, чтобы V обращалось в нуль) встретить такой момент времени 4, когда 9 было бы равно 0.
То же самое можно сказать и в случае, когда 0 = ± л, если не считать того, что тогда v будет определяться уравнением
^ = -5(1+я) sin/. (5")
Наконец, если величина sin 0 не обращается в нуль в начальный момент, то она не может 'обратиться в нуль до тех пор, пока остается w>0. При этих условиях из второго из уравнений (5) видно, что db/dt всегда имеет
знак, обратный знаку 0, следовательно, 9 изменяется вместе с t постоянно
в том же самом направлении, возрастая по абсолютной величине. Можно, следовательно, принять 9 за независимую переменную вместо t в течение промежутка времени, о котором идет речь. Разделив первое из уравнений (5) иа второе, благодаря чему t исключится, мы будем иметь дифференциальное уравнение годографа
