Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
— — ZiZ- clg 0 Ч——
V dd к ^ sin 6 ’
интегрируя которое получим
0 1«
tg 2
sin f
(7)
где X обозначает постоянную интегрирования. Эту постоянную надо принять, конечно, отличной от нуля, потому что в противном случае, вопреки предположению, исчезала бы скорость v.
Выражение (7) для v показывает, что величина vjsin 0 при 0 = 0 становится бесконечно большой порядка (2— и). Когда речь идет о больших наклонах, т. е. для случая а) (п < 1), порядок этот будет > 1.
Обратимся сначала к случаю а).
Интеграл J d<) стремится к бесконечности, когда мы будем приближать к нулю один из концов промежутка интегрирования. Поэтому из второго из уравнений (5) следует, что если мы заставим 0 изменяться всегда в одном и том же направлении от его начального значения 0О до нуля, то t будет безгранично возрастать. Принимая снова t за независимую переменную и предполагая, что вначале v и sin 8 отличны от нуля, при больших наклонах (я ¦< 1) можно сказать, что угол 0, образуемый направлением скорости скольжения и линией наибольшего ската, асимптотически стремится к нулю, а абсолютная величина этой скорости возрастает до бесконечности.
Перейдем теперь к малым наклонам (п>1), предполагая, что начальные значения о и sinb не равны нулю.
Из уравнения (7) теперь следует, что о стремится к нулю вместе с 0, а второе из уравнений (5) показывает, что t остается конечным при 0 ->¦ 0. Если затем снова примем t за независимое переменное, то придем к заключению, что по истечении конечного промежутка времени, т. е. в определенный момент tb скорость скольжения уменьшится до нуля, стремясь в то же время принять направление линии наибольшего ската.
Если в начальный момент исчезает sin 0, но не скорость v, то уравнения (5), как было уже замечено, допускают решение sin 6 =* 0 для всего промежутка времени, в котором V остается отличным от нуля. Далее, если Sin
УПРАЖНЕНИЯ
229
исчезает вместе с начальной скоростью скольжения, направленной вверх
(cos 0 = —I), то из первого из уравнений (5), в котором надо положить
cos 8 == —1, или же из уравнения
= - ?(1 +я) Sin і (б")
непосредственно будет следовать, что скорость скольжения будет стремиться к нулю, каково бы ни было п, достигая значения, равного нулю, по истечении конечного промежутка времени. То же произойдет и в случае малого наклона (я>1), если скорость скольжения вначале направлена вниз (cos 0=1). Наоборот, для больших наклонов (я < 1), когда имеет место равенство
^ = g(l — n)s\nl, (5')
скорость скольжения уже не исчезает, а возрастает до бесконечности вместе с t при я<1 и остается постоянной в частном случае, когда я = 1,
Наконец, если в какой-либо момент имеем v = 0, то, начиная с этого момента, уравнения (5) теряют силу в случае малого наклона, или при я>1. Действительно, правая часть первого из них,
^ s — g sin / (и — cos 0),
имеет отрицательное значение, какое бы предположение ни делалось относительно угла 0. Поэтому v должно было бы убывать, начиная от нулевого значения, что представляет собой абсурд, так как v есть абсолютная величина скорости. Следовательно, мы должны сделать вывод, что при я >1, как только V обращается в нуль, наступает фаза качения.
Наоборот, при больших наклонах (л -< 1) уравнения (5) все еще будут определите и и 0, даже если в некоторый момент V = O (и 0 неопределенно). Между тем из второго из уравнений (5), в предположении, что названные функции остаются конечными (вместе с их производными), следует, что если V исчезает, то должен исчезать также и sin 0. Поэтому начальное значение угла 0 может быть только равным нулю или я. Ho значение я надо исключить, потому что первое из уравнений (5) в рассматриваемый момент перешло бы в уравнение (5") и дзло бы dv/dt<i 0, что нелепо. Если, далее, 8 = 0, то вначале будет иметь место уравнение (5') и, следовательно, dvjdt^> 0, по крайней мере при я<1. В момент, непосредственно следующий, »>0, и тогда, как мы это видели выше, 8 будет оставаться нулем, a v будет безгранично возрастать. При n = 1, « = 0 = 0 будет решением уравнений (5).
Из всего предшествующего заключаем, что при п 1 (большие углы наклона) движение исчерпывается фазой скольжения, за исключением одного очень частного случая, когда при п = I v исчезает в начальный момент.
Если исключим этот случай, то о и 0 определятся в функциях от t из уравнений (5) указанным выше способом с соответствующими изменениями. Для того чтобы дополнить определение неизвестных функций, можно, например, обратиться к первым двум из уравнений (3) и к интегралам (4), принимая во внимание, что в рассматриваемой фазе Фzjm, &TJm имеют выражения, соответствующие динамическому трению
-/Ar Д. —fN h,
mv ’ та
или же, в силу третьего из уравнений (2),
—fS cos іcos 0* —/?sin і sin 0.
Таким образом, мы видим, что все приведено к квадратурам.
230 ГЛ. И. ДВИЖЕНИЯ С КАЧЕНИЕМ. СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИ
Наконец, если п > 1 (малые наклоны), мы необходимо придем, после возможной фазы скольжения, к моменту 11, когда будет v = 0.
