Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Ясно, что одно какое-нибудь многообразие оо ” элементов, перечисленных выше, обладает тем свойством, что в нем два каких угодно бесконечно близких элемента сопряжены в том смысле, что гиперплоскость одного проходит через центр другого. Это условие сопряженности между двумя бесконечно близкими элементами z, q, р и z-\-dz, q + dq, p-\-dp выражается уравнением Пфаффа
С. Ли доказал, что в пространстве Sn+1 не существует других многообразий оо» элементов, сопряженных друг с другой, помимо многообразий, принадлежащих к n-j-1 только что определенным категориям, которые можно поэтому назвать многообразиями п измерений сопряженных элементов.
Если над точками пространства 5п+1 мы выполним какое-нибудь преобразование (обратимое), то оно поставит в соответствие двум каким угодно касательным друг к другу гиперповерхностям, т. е. гиперповерхностям, имеющим один общий элемент, две аналогичные гиперповерхности, так что это преобразование над точками (точечное преобразование) можно рассматривать как преобразование над элементами (или, как обычно говорят, расширенное точечное преобразование).
Z = Z (qv q%, ..., qn)
dz—P1 dqt — p2 dq2— . .. —pn dqn = 0;
(34)
§ 2. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
267
Легко видеть, что такое расширенное точечное преобразование переводит всякое многообразие ооп сопряженных элементов в многообразие сопряженных элементов; это аналитически выражается в том, что всякое расширенное точечное преобразование преобразует условие сопряженности (34) само в себя.
He надо, однако, думать, что и, обратно, всякое преобразование, произведенное надоо2п+1 элементов пространства 5п+1, преобразующее само в себя условие сопряженности (34), будет необходимо расширенным точечным преобразованием. С. Ли доказал, что существует бесконечное множество преобразований (зависящих от произвольных функций от 2 п -)-1 аргументов, вместо п-\~ I аргументов, как это имеет место для точечных преобразований), которые, если обозначить через С, х, тг координаты преобразованного элемента, имеют вид
C = t.(z\p\q),*h=:*h(z\p\q),Kh = 'Kb{z\p\q) (А = 1,2, ...,я)
и преобразуют само в себя условие сопряженности (34).
Отсюда следует, что такое преобразование само преобразует одно в другое многообразия оо п сопряженных элементов; но по сравнению с расширенными точечными преобразованиями оно обладает существенно отличными свойствами. В то время как расширенное точечное преобразование, примененное к какому-нибудь многообразию оо » сопряженных элементов, оставляет неизменным размерность точечного многообразия центров этих оо п элементов, преобразование Ли, вообще говоря, изменяет эту размерность, как если бы происходило разъединение многообразия оо п сопряженных элементов и одновременно с этим объединение их согласно условию (34) вокруг новых центров, составляющих в своей совокупности точечное многообразие другой размерности. Так, в частности, оо п элементов связки т. е. элементов, имеющих общий центр в произвольной точке пространства 5п+1, преобразование Ли ставит в соответствие, в зависимости от случая, оо п элементов какого-нибудь Vn, или Vn_u ..., или V1, или связки. При этом если всякой связке из оо п элементов соответствует одна аналогичная связка, то преобразование сводится к расширенному точечному.
Эти более общие преобразования элементов из 5п+1, удовлетворяющие условию сопряженности (34), как раз и представляют собой, по определению С. Ли, преобразования прикосновения.
Между преобразованиями такого рода С. Ли изучал, в частности, преобразования вида
t = z — Q(p\q),*h=:^h(p\q),Tzh = <sh(p\q) (А = 1,2, ..., я) (35)
и показал, что эти преобразования определяются дифференциальным условием
П П
У Pu ^qh=YlizHdHjTdQ, ft=»l h = l
268
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
которое мы уже встречали как характеристическое для вполне канонических преобразований.
Таким образом, мы приходим к. заключению, что вполне канонические преобразования при присоединении уравнения С = ?— 2 (р | q) оказываются тождественными с преобразованиями прикосновения типа (35). Если, в частности, Q сводится к постоянной, то дифференциальное тождество (19') принимает вид (19") (п. 12), и мы получаем так называемые однородные преобразования прикосновения. Эти преобразования находят важное применение в оптике, как мы покажем это в упражнениях.
В аналогичном смысле общие канонические преобразования являются не чем иным, как преобразованиями прикосновения (35), в которые в виде параметра входит і; как противоположный крайний случай, вполне канонические преобразования частного вида, к которым мы пришли в конце п. 12, заранее произвольно задавая обратимое и не зависящее от t преобразование между q их, сводятся к расширенным точечным преобразованиям.
§ 3. Интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений
19. Линейные дифференциальные операторы и их альтернаты. Основной задачей в теории канонических систем является, конечно, задача интегрирования, о чем мы дадим краткое понятие в §§ 6—12. Ho предварительно мы остановимся в этом и в двух следующих параграфах (§§ 4 и 5) на некоторых вспомогательных понятиях, которые выясним вообще для систем дифференциальных уравнений первого порядка произвольного вида, применять же их будем всякий раз только к случаю канонических систем. Начнем с напоминания некоторых совсем элементарных понятий.
