Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Введя N независимых переменных Z1, z%, .. ., zN, рассмот-
рим совокупность функций / (zlt Z2, ¦.., Zjv), правильных, по крайней мере, в некоторой области, т. е. конечных, непрерывных и дифференцируемых столько раз, сколько будет необходимо. Назовем линейным оператором (первого порядка) всякую операцию, после применения которой к какой-нибудь функции f(zu z2, ..., zjy) мы получаем выражение типа
N
V = I
где av представляют собою Л/ определенных функций указанной выше совокупности. Это выражение обозначается символом А/, причем А (как это ясно само собою) есть не величина, а знак оператора. В соот-
§ 3. ИНТЕГРАЛЫ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 269
ветствии с этим соглашением можно написать
N
Применяя линейный оператор к сумме двух функций /j, f2, к их произведению или, вообще, к какой-нибудь сложной функции F (fu Z2* - • /»»)> составленной из т. функций Zii от N аргументов г,
мы непосредственно можем убедиться, что всякий линейный оператор ведет себя как символ дифференцирования, т. е. имеют место основные тождества
где р так же, как и а, суть функции от г, мы выполним операторное умножение б на Л или А на В, т. е. применим последовательно оба оператора в том или другом порядке, то придем к двум новым операторам (второго порядка) AB и BA.
Представляя в развернутом виде результат первой операции, найдем
мы видим, таким образом, что ABf, BAf, вообще говоря, не совпадают друг с другом или, как обычно говорят, два линейных оператора А, В, в общем случае, некоммутативны; но операторы ABt BA всегда имеют одинаковую часть второго порядка, так что их разность сводится к оператору первого порядка. Этот последний оператор называется
А (Л +Л) — Af1 -j- Af2, А (Д, /2) =ZHZa
т
Если затем, рассматривая второй оператор
N
N
N
N
р=1
аналогично-в результате второй операции получим
N
N
P=I
270
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЁНЙЯ
альтернатом операторов А и В и обозначается символом (AB) т. е. (по определению)
N
(AB) = AB-BA = ? (^p-Sap)
P=I р
Отсюда непосредственно следует, что (AB) = -(BA).
20. Интегралы и инварианты системы обыкновенных дифференциальных УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И ОПРЕДЕЛЯЕМОЕ ИМИ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ производными ПЕРВОГО порядка. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и ранга я, т. е. CHCTeMyj состоящую из я уравнений с я неизвестными функциями X от одного независимого переменного t, мы сразу же будем предполагать, что система приведена к нормальному виду, т. е. разрешена относительно производных:
d-^ = Xi{x\ t) (/=1, 2, ..., я). (36)
В дальнейшем для удобства выражения мы часто будем под независимой переменной t понимать время; в соответствии с этим вместо решений системы (36) мы будем говорить о движении, определяемом этой системой в абстрактном пространстве я измерений х, которое, по аналогии с динамическим случаем, можно называть пространством конфигураций или пространством траекторий. Наряду с этим пространством иногда удобно рассматривать пространство я-J- 1 измерений х и (, в котором всякое решение системы (36) представится кривой (интегральной), называемой графиком *) соответствующего движения. В этом пространстве, соответственно оо” решений уравнений (36), имеется столько же графиков движения, из которых через каждую точку проходит один и только один график.
Известно (см. п. 4), что интегралом системы (36) называется всякое конечное соотношение между X и t вида
/(я 1^) = COnst, (37)
которое тождественно удовлетворяется каждым решением системы, конечно, при подходящем значении постоянной в правой части. С геометрической точки зрения, всякий интеграл (37) в пространстве х, t я -J-1 измерений определяет оо1 гиперповерхностей или многообразий я измерений, заполняющих пространство в том смысле, что одна и только одна из гиперповерхностей проходит через каждую
*) В случае п + 1 = 2 эта кривая в элементарной кинематике называется графиком-, мы сохранили для нее такое же название и для случая п 1 > 2. Авторы называют рассматриваемую кривую curva oraria. (Прим. перев.)
S 3. ИНТЕГРАЛЫ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 271
точку; эти гиперповерхности таковы, что на каждой из них лежит целиком однозначно определенный график движения, проходящий через какую-нибудь ее точку. Другими словами, каждая из оо1 гиперповерхностей (37) составляется оо”-1 кривых из всех оо” графиков движения.
Иногда, как уже указывалось в случае канонических систем, сама функция f{x\t) в левой части уравнения (37) называется интегралом. Эта функция называется также инвариантом системы (36), так как для всякого решения системы она сохраняет постоянное
значение, как бы ни изменялось время L
Мы покажем здесь, что интегралы или инварианты f(x\t) системы (36) можно определить как решения некоторого вполне определенного линейного уравнения с частными производными первого порядка относительно х и L
Для этой цели заметим, что, для того чтобы уравнение (37) определяло интеграл системы (36), необходимо и достаточно, чтобы всякий раз, когда в него вместо х подставляются функции от t, удовлетворяющие уравнениям (36), само уравнение (37), при подходящем значении постоянной, сводилось к тождеству. Другими словами, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялось тождественно, как следствие уравнения (37), уравнение, которое выводится из него дифференцированием по t,
