Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-Чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 2" -> 115

Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.

Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 2 — Москва, 1951. — 556 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteorticheskoyfiziki1951.djvu
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 230 >> Следующая

§ 3. ИНТЕГРАЛЫ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 277

образом, что согласно терминологии, введенной С. Ли, эти шесть интегралов определяют группу функций *).

Отметим еще, кроме того, что каждое из количеств движения Q находится в инволюции с остальными двумя и с моментрм К, соответствующим той же оси; достаточно принять во внимание тождества (46*), (461V), чтойы убедиться, что как всякое количество движения Q, так и всякий отдельный момент К находятся в инволюции с квадратом модуля результирующего момента количеств движения

K2 = Kl+ Kl+ Kl

б) В качестве второго примера рассмотрим одну материальную точку, которая находится под действием силы F, допускающей один интеграл количества движения и один интеграл момента количества движения, с различными индексами, например Q1 и K2. Здесь мы имеем весьма простой пример приложимости теоремы Пуассона, так как из первого из соотношений (46IV) следует, что будет существовать также и интеграл Q3 = Const. Заметим, кроме того, что это заключение с геометрической точки зрения очевидно, так как наличие двух интегралов Q1 = WtS = Const, Ka = т (IU — К) = const означает, что сила F для любого положения точки должна быть, с одной стороны, параллельна плоскости tjC, а с другой — компланарна (пересекает или параллельна) с осью тц, а отсюда следует, что сила, если она не равна нулю, будет необходимо параллельна оси г] и, следовательно, перпендикулярна к оси С, что как раз и обеспечивает справедливость интеграла Q3 = mt = const.

в) Имеет место следующая общая теорема Якобиа), которую мы здесь только сформулируем: если голономная система находится под действием таких сил, что существует некоторое число т~^-2 первых интегралов, то скобки Пуассона для двух каких угодно из этих интегралов удовлетворяют тем же самым тождествам (46 ) — (46IV), которые имели бы место в случае системы свободных точек.

1) Группой функций по С. Ли называется всякая совокупность функций от двух сопряженных рядов я переменных, обладающая следующими свойствами: 1) она содержит всякую сложную функцию, составленную из функций той же совокупности; 2) к ней принадлежат скобки Пуассона от двух каких угодно из ее функций. С. Ли доказал, что во всякой группе функций можно определить некоторое число т^2п таких независимых функций «і, н2,Ula, что для всякой пары индексов i, j будем иметь

(tlf, Uj) == ^ij 0^1’ U%, • ¦ Ufft),

где фу обозначают определенные функции от соответствующих аргументов, изменяющие знак при перестановке индексов i, j. Группа функций состоит из всех сложных функций (и только из них), составленных из и.

a)Jacobl, Werke, т. V, стр. 113. Cm. также Ma th іе u, Dynamique analytique (Paris, Gauthier — Villars, 1878), стр. 243; A. Mayer, Math. Annalen, т. 17, 1880, стр. 333.
278

ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

§ 4. Инвариантные соотношения

25. Определения и характеристические свойства. Конечное соотношение между хн t

/(*10 = 0 (47)

называется инвариантным по отношению к заданной обыкновенной системе дифференциальных уравнений

*?=Xt(x\t) (І = Ijp 2, . fl)/ (36)

если все решения системы, которые удовлетворяют этому соотношению вначале, т. е. при частном значении t, будут удовлетворять ему также и при всяком другом значении этого переменного.

Такое соотношение, поскольку оно в отличие от интеграла не содержит произвольных постоянных, определяет некоторое свойство, принадлежащее только части решений системы, т. е. решениям, начальные значения которых подчиняются тому же соотношению. Очень простой пример инвариантного соотношения представляет собой всякий интеграл / = const, в котором произвольной постоянной приписывается какое-нибудь частное значение; поэтому, как и в аналогичном случае систем дифференциальных уравнений второго порядка (гл. VIII, п. 58), инвариантные соотношения называются также частными интегралами. Если мы обратимся к представлению в пространстве х, t графиков движения, то из самого определения увидим, что всякое инвариантное соотношение (47) определяет в нем гиперповерхность, образованную оо"-1 графиков движения (или интегральных кривых) системы (36); но в данном случае мы имеем отдельную гиперповерхность, в то время как первый интеграл определял оо1 таких гиперповерхностей, заполняющих все пространство /г —J— 1 измерений.

Далее, подобно тому, как это было сделано в п. 20 для первых

интегралов, укажем прежде всего формальные условия, характери-

зующие уравнение (47) как инвариантное соотношение.

Для того чтобы соотношение было инвариантным, необходимо и достаточно, чтобы функция / (х \ t) оставалась равной нулю при изменении t для всех тех решений системы (36), начальные значения которых обращают эту функцию в нуль. Это равносильно тому, чтобы сказать, что для всех этих решений полная производная от / по t, взятая в предположении, что х удовлетворяют уравнениям (36),

I V У Ґ48Ч

ж-w+ Lx^i (48>

{=і

должна быть тождественно равна нулю; мы докажем, что для этого необходимо и достаточно, чтобы f(x\t), рассматриваемая как функ-
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 230 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed