Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
П
df , V df dXj _ п
dt "Т- Zjt dXi dt ’
? = I
или, так как х определяются уравнениями (36),
f + 2**?=0- <38>
і = 1-
Это и есть то уравнение с частными производными, на которое мы указывали выше; при этом существенно необходимо добавить одно замечание.
В действительности процесс дифференцирования, посредством которого мы вывели уравнение (38) из (37), позволяет лишь утверждать, что уравнение (38) справедливо только для тех систем значений х Vi t, которые удовлетворяют уравнению (37).
Ho достаточно принять во внимание, что уравнение (37) тождественно удовлетворяется (при подходящем значении постоянной) какими угодно решениями Xi уравнений (36), чтобы видеть, что уравнение (38) в силу того же самого удовлетворяется тождественно, т. е. при произвольно выбранных значениях, в некоторой подходящей области переменных х и t, от которых зависит /. Действительно, мы уже знаем, что как бы ни задавались (в области, в которой для системы (36) имеет место теорема существования общего интеграла)
272
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
я --J-I значений Xi, xt, ..., х„, t0l всегда существует одно и только одно решение Xi (/) уравнений (36), для которого имеем Xi '(Z10) = Xi • Далее, уравнение (38) остается справедливым при подстановке в него этого решения, каково бы ни было t\ таким образом, если мы положим в этом решении, в частности, t=t0, то уравнение (38) будет удовлетворяться при заданных выше произвольно значениях Xi и t0.
Обратно, легко убедиться, что всякая функция / (х 11), удовлетворяющая уравнению (38), когда в ней х и t рассматриваются как независимые переменные, будет интегралом или инвариантом системы (36). Действительно, если уравнение (38) удовлетворяется тождественно, оно, в частности, остается справедливым и тогда, когда вместо Xi подставляются я функций, удовлетворяющих уравнениям (36); а так как при этом левая часть уравнения (38) сводится к dfjdt, то функция / будет такой, что когда л: в ней будут рассматриваться как решения уравнений (36), то будет dfjdt= 0, т. е.
f (х \ t) = const.
Таким образом, для того чтобы какая-нибудь функция f(x\t) была интегралом или инвариантом системы (36), необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла линейному уравнению с частными производными (38) относительно /г —1 независимых переменных X И t.
Далее, из анализа известно, что это уравнение имеет п независимых между собой решений fi{x\ t) (г = 1, 2, ..., я). Из предыдущего следует, что эти решения определяют (для системы (36)) столько же различных интегралов
fi (х IO = Ci (і = 1, 2, ..., я), (39)
где Ci обозначают я произвольных постоянных; эти я уравнений, так как из них можно определить каждую из переменных л: через t и с, определяют общий интеграл уравнений (36). Обращаясь к геометрической интерпретации в пространстве я-J-I измерений графиков движения, мы можем сказать, что через произвольную точку jfi, t0 такого пространства проходит одна и только одна из оо1 гиперповерхностей каждого из семейств (39); эти я гиперповерхностей, уравнения которых имеют вид
/і (х! 0 = /» (х°> *о) О'=1. 2, ..., я),
пересекаются вдоль графика движения, представляюиГего то решение уравнений (36), в котором Xi при t=t0 принимают значения х\.
Отметим, наконец, что если рассматривать совместно не все
я интегралов (39), а только некоторое число их /я<я, то система
fi(x\t) = ct (»= 1, 2, ..., т)
определит в соответствии с возможным выбором т постоянных Ci
разделение точек пространства на оо™ многообразий я — т измере-
§ 3. ИНТЕГРАЛЫ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 273
ний, каждое из которых, очевидно, можно рассматривать как образованное оо"-™-1 графиков движения.
21. Интегралы и инварианты канонической системы. В случае канонической системы ранга 2и
fA==i>2.......*> (5)
уравнение (38) с частными производными, определяющее инварианты или интегралы f{p\q\t), принимает вид (предыдущий пункт)
^-L V (дИ д/ дН
dt' Ju \дрл dqh Dqh дрп)
й —1
если вспомним определение скобок Пуассона (п. 17), то это уравнение можно написать в виде
-^4-(//,/) = 0. (40)
Так как в уравнение с частными производными, имеющее очевидную важность для теории канонических систем, входят скобки Пуассона, остановимся немного на свойствах этих скобок.
22. О скобках Пуассона. Если из двух функций и и / от 2я переменных р и q. будем рассматривать первую как заданную, а вторую как произвольную, то соответствующую скобку Пуассона
(и у (JlL JLЖЛ
ки' Li Wft Hb dqh dph)
h = l
можно рассматривать как полученную путем применения к функции линейного оператора
П
V (д ди д \ 2и\др^ dqh ~d<hdph)' ft = I
Таким образом, из общих свойств линейных операторов, перечисленных в п. 19, для скобок Пуассона вытекают тождества
!(“, fi +/2) = 0> fi) 4- («. /2)» (“. /1/2) = /1 (и> /2) +/2 (“> Л).
второе из которых дает, в частности, если через с обозначим какую-нибудь постоянную,
(a, cf) = c(u, /).
Подобным же образом, если F(fu есть сложная
функция, зависящая от р и q через посредство т функций fj, то из
