Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
§4. ИНВАРИАНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
279
ция от п -j- 1 независимых переменных х и t, удовлетворяла линейному дифференциальному уравнению в частных производных вида
f = V, (49)
где dfjdt означает выражение (48), а X есть некоторая функция от х, t, которая остается правильной в рассматриваемой области.
Действительно, обратимся к области значений для х, t, в которой вместо одного из х, например вместо хп, можно подставить /. После выполнения подстановки dfjdt станет функцией от X1, х2, ..., хп_и / и t; если предположим, что она разложена по степеням переменной /, то можем представить ее в виде
f=1+V.
где f зависит только от X1, х2, ..., х„_г, t, ноне от /, и так же, как и X, остается правильной в рассматриваемой области. Для того чтобы производная dfjdt исчезала вместе с /, необходимо и достаточно, чтобы равенство /=O влекло за собою f = 0, а так как ч не зависит от /, то мы видим, что у может исчезать только тождественно, т. е. при каком угодно выборе ее аргументов; мы заключаем отсюда, что, действительно, левая часть какого-нибудь инвариантного соотношенбия определяется уравнением вида (49).
Отметим еще, что в обычном случае, когда уравнение (47) получается из какого-нибудь интеграла путем приписывания частного значения произвольной постоянной, имеет место (п. 20) уравнение dfjdt= 0, т. е. функция к тождественно равна нулю.
Определение инвариантного соотношения и соответствующее характеристическое дифференциальное уравнение (49) допускают естественное обобщение. Какая-нибудь система из конечных соот-
ношений между XHt
fr(x\t) = 0 (г = 0, 1, 2, ..., т) (50)
называется инвариантной относительно системы обыкновенных дифференциальных уравнений (36), если она будет удовлетворяться при каком угодно значении t всяким решением X1 (/) системы (36), начальные значения которого (т. е. соответствующие частному значению t0 переменного t) ей удовлетворяют. Мы всегда будем предполагать, что т-\-\ уравнений (50) являются независимыми между собою относительно переменных х, для чего, как известно, необходимо и достаточно, чтобы ранг якобиевой матрицы от/по х был равен т-\- 1; при этом предположении уравнения (50) определяют в пространстве х, t »-]-1 измерений некоторое многообразие п — т измерений, образованное со”-™-1 интегральных кривых системы (36), из которых одна и только одна проходит через данную точку многообразия.
280
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Предполагая соотношения (50) независимыми, мы найдем только что указанным для т = 0 способом условие, необходимое и достаточное для того, чтобы система (50) была инвариантной; оно заключается в: том, что функции /г, рассматриваемые как функции от независимых переменных х, t, должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений с частными производными вида
т
(/- = 0,1,...,//0* (51)
S = O
где полные производные в левой части должны быть взяты согласно уравнению (48) и Xrs обозначают правильные функции в рассматриваемой области значений х и t.
26. Виртуальные перемещения. Когда известно одно соотношение или одна инвариантная система, то из нее можно получить в некоторых случаях новую инвариантную систему. Чтобы объяснить способ, который при надлежащих условиях приводит к такому результату, необходимо предпослать одно определение и некоторые вспомогательные соображения*)•
При рассмотрении любого решения Xi (І) системы (36) мы будем называть виртуальным перемещением (совместным с (36)) для этого решения всякие п бесконечно малых функций Zxi от t, таких, чтобы Xi -f- Sxi удовлетворяли, так же как и Xi, системе (36). Подставляя эти функции в уравнения (36), мы увидим, что функции Ъх{ определяются системой
= S(1=1, 2, „), (52)
J = I 3
где подразумевается, что в частные производные дXiIdxj должны быть подставлены вместо Xi функции Xi (t) рассматриваемого решения, так что коэффициенты при <5х{ в правой части являются функциями только от t.
Уравнения (52) суть не что иное, как уравнения в вариациях заданной системы (36), соответствующие заданному решению Xi (t) (гл. VI, п. 19); они могут быть написаны в более сжатой форме
= 8 (/=1,2,...,«), (520
откуда видно, что знаки виртуальных перемещений и знаки производных по времени можно переставлйть.
0 Levi-Civita, Sur la recherche des solutions particulieres des systemes dlfferentiels et sur Ies mouvements stationnaires. Prac matematyczno —fizycz-nych, Warszawa, т. XXII, 1906.
§ 4. ИНВАРИАНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
281
Отсюда следует более общий случай, что для всякой функции f(x\f) ОТ JC и, возможно, от t имеем
(53)
где, как обычно, d\dt обозначает полную производную, взятую принимая во внимание уравнения (36); эта производная явно определяется посредством равенства (48).
Отметим, наконец, что для всякого решения систему (36) существует ооп виртуальных перемещений, так йак для соответствующих уравнений в вариациях можно произвольно задать начальные значения п функций Sjci, которые им удовлетворяют.
27. Инвариантность условий стационарности инвариантного соотношения. Предполагая для системы (36) инвариантное соотношение