Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
18 Зак. 2368. Т. Леви-Чивита и У. Амальдк
274
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
соответствующего тождества п. 19 непосредственно имеем
J=I
К этому тождеству мы присоединим здесь другое очень важное тождество, относящееся к каким угодно трем функциям U, V, W от р и q (так называемое тождество Пуассона—Якоби),
(и, (V, w))-{-(v, (w, u))-\-{w, (и, 1/)) = 0. (41)
Для доказательства этого тождества заметим сначала, что после выполнения выкладок всякий член в левой части будет состоять из произведения двух первых производных от двух различных из трех функций и, V, w на одну вторую производную от третьей функции. Поэтому для подтверждения, что левая часть равна тождественно нулю, надо показать, что после приведения подобных членов она не будет более содержать производных второго порядка.
Для этой цели обратим внимание на вторые производные от и. Очевидно, в первом слагаемом (и, (v, w)) не будет ни одной из них; что же касается двух других слагаемых, то, вводя временно два линейных оператора А и В, определяемых равенствами
Af = (v,f), Bf= (w,f),
будем иметь
(у, (w, и)) = ABu, (w, (и, г»)) = — (w, (v, и))== —BAu и, следовательно,
(г», (w, и)) -f- (w, (и, v) = ABu — BAu = (AB) и.
Далее, мы знаем, что (AB) есть оператор первого порядка, т. е. (АВ)и после выполнения выкладок не будет содержать ни одной производной второго порядка, что и доказывает тождество (41).
Будем говорить, что две функции от р, q, скобки Пуассона которых равны нулю, находятся в инволюции; из тождества Пуассона—Якоби непосредственно следует, что если две функции V, W находятся в инволюции с одной и той же функцией и, то то же будет иметь место и для их скобок Пуассона (v, w).
23. Теорема Пуассона. Если /1; /2 суть два интеграл"а канонической системы, то и их скобки (J1, Д) также будут интегралом.
Прежде чем доказывать это, заметим, что новый интеграл не будет обязательно независимым от двух других, предполагаемых известными; он может даже оказаться иллюзорным, например, постоянной величиной, и, в частности, нулем (если Д и /2 находятся в инволюции).
§ 3. ИНТЕГРАЛЫ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 275
Эта теорема является почти непосредственным следствием тождества Пуассона—Якоби. Действительно, предположение, что функции Z1, /2 являются интегралами канонической системы (5), выражается уравнениями (п. 21)
-?- + (Н, Zi) = О, ^- + (Я,/9)= 0, (42)
а речь идет о том, чтобы доказать, что отсюда вытекает уравнение
-^%^- + (Я, (/i/a)) = 0. (43)
Из тождества Пуассона—Якоби относительно fu Zg, H
if и (Л> т)+(/», (н, л))+(я, (л, Z3))=о
на основании равенства (42) получаем
(/*’ Ir)ж)+(Я> (А> Л)) = 0, (44)
а так как из равенства, определяющего скобки Пуассона
// _ V ( d/t dfi dfi d/a \
KJb Jч) \дрь dqh dqh dph)'
путем дифференцирования по t получаем
а (Л. Л) - Yf Mi\
dt ~\Ju dt) I/2’ dt)'
о мы видим, что уравнение (44) тождественно с уравнением (43).
24. Примеры, а) Для иллюстрации теоремы Пуассона на некоторых
особенно простых примерах рассмотрим, во-первых, систему из п -J-I свободных материальных точек, находящихся исключительно под действием внутренних сил, как это имеет место в так называемой
задаче п -f-1 тел (гл. III, п. 22). Для такой системы имеют место два первых интеграла: интеграл количеств движения и интеграл моментов количеств движения (относительно любой галилеевой системы осей), т. е. при принятых нами обозначениях,
Q = const, К = const;
из этих равенств после проектирования на оси галилеевой системы С можно получить шесть скалярных интегралов
Qj=Const, Kj = const (/ = 1, 2, 3),
где для удобства обозначений индексы 1, 2, 3 относятся к проекциям векторов QhK соответственно на три оси ?, Tj, С.
18*
276
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Если, как и в п. 6, в качестве лагранжевых параметров q мы возьмем декартовы координаты і\{, Ci отдельных точек системы, а в качестве сопряженных параметров р — проекции соответствующих количеств движения
TTi'= ItIiIi, Xi = OTiYji, рі = т&{ (і = 0, 1, 2, л),
то явные выражения Qj, Kj определятся равенствами
п п п
= Q3 = 2x<, Q3 = 2p<; (45O
¦і =0 і = 0 г = О
K1 = Ік(гііРі-Ш, ^ = 2(^-?*), ^=2(^-^). (45")
»=о і=о і=о
Вычисляя частные производные по отношению к переменным, расположенным в двух строках, каждая из которых содержит Зл переменных,
I Ъ Pі I rfIi
(i = 0, I, 2, л),
найдем, что скобки Пуассона двух каких угодно функций и, v принимают вид
П
, ,__ Vi____________ди dv і ди dv_______ ди dv ¦
KuI v) XchTi діі діі dKf 1 д/і дги дги д/j "• i=o
і ди dv ____ди_ dt>\
+ dQWJ1
достаточно применить эту формулу к шести первым интегралам, чтобы убедиться, что для них имеют место тождества
(Qj, Qd = O (/,/=1,2,3), (460
(KvK3) = -K1, (К* K1) =-K2, (K1, K2) =-K3] (46")
(QjtKj) = 0 (7 = 1,2,3); (46"0
(Qij K2) = (K1, Q2)= Qs. (Qq> Kg) = (K2, Qg)= Qd | ^giv) (Qs. ^i)= (*з, Qj) = Qa- I
Отсюда прежде всего следует, что в настоящем случае теорема Пуассона не дает ничего нового, так как скобки от двух каких угодно из шести первых интегралов или тождественно равны нулю, или воспроизводят один из тех же самых интегралов; мы видим, таким
