Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-Чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 2" -> 108

Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.

Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 2 — Москва, 1951. — 556 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteorticheskoyfiziki1951.djvu
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 230 >> Следующая


п

(А = 1, 2, ..., и). (240

¦ as 1
§ 2. Канонические преоЬразо&анйя

259

Уравнения (24), (24') делают очевидным тот факт, который можно было предвидеть заранее на основании тождества (19"), что переменные р и тс преобразуются одни в другие как частные производные первого порядка от одной и той же функции переменных q или, соответственно, переменных х, подвергнутых преобразованию (22) или (22'), т. е., как говорят, в абсолютном дифференциальном исчислении, преобразуются ковариантно.

13. Линейные вполне канонические преобразования. Если функция Vn. 11 не зависит от t и линейна относительно своих 2я аргументов q и к, то и соответствующее вполне каноническое преобразование будет линейным (и однородным). В общем случае, если предположить, что уравнения (20) разрешены относительно новых переменных тс, у., эти последние будут выражаться (линейно) через 2я первоначальных переменных р, q.

Особого рассмотрения заслуживают те вполне канонические преобразования, при помощи которых вместо п переменных одного из первоначальных рядов, например q, вводятся п наперед заданных их линейных однородных независимых комбинаций с постоянными коэффициентами

п

Ч — 2 КіЧі (А = 1, 2, ..., и). (25)

І =St 1

Способ предыдущего пункта приводит к однозначному определению таких Ti линейных относительно р форм, тоже с постоянными коэффициентами (которые должны быть приняты за новые переменные тс), чтобы полученное преобразование было (вполне) каноническим. Для этого достаточно разрешить уравнения (25) относительно q и затем применить равенства (24).

Ho в этом случае к результату можно прийти быстрее, замечая, что, так как уравнения (25) имеют постоянные коэффициенты, существуют такие же соотношения между дифференциалами dq и At; поэтому тождество (19") можно здесь заменить конечным соотношением

п п

HtPh4h= 2 Vh, (26)

h=l ft=l

которое выражает, что две системы линейных подстановок (с постоянными коэффициентами), которые надо выполнить над переменными р, q, должны оставить неизменной так называемую унитарную билинейную форму. В простых случаях, которые чаще всего приходится рассматривать в конкретных задачах, равенство (26) позволяет вывести одну из этих двух систем подстановок, когда задана другая.

Так, например, если при п = 3 требуется выполнить над переменными <7 подстановки

xi ==‘ > x2 = 9i Ч4.1 уь = Чч

17*
260

ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

то на основании соотношения (26), исключая все q, получим тождество

tcIxI + ТС2Х2 + "3У-3 = PlH + P2 (vI- ч) + Pa (xI — *2 — *з)>

которое непосредственно дает

=Pl+ /? + /?. те2 = —/>2—-Ps. Ъ = —Рз-

Аналогично, если в случае какого угодно числа сопряженных переменных pi, qi(i = 0, 1, ..., я) требуется сохранить одну из переменных q неизменной, полагая, например,

1tO ~ Яо>

и подставить вместо остальных qh (h > 0) разности

4 = Ян — Яо (Л = 1, 2, ..., и),

то найдем

П

=HiPi, Kh = Ph (Л= 1, 2, ..., л).

г = 0

14. Вполне канонические бинарные преобразования. В случае вполне канонического преобразования, производимого только над двумя сопряженными переменными р, q, тождество (19'), принимающее здесь вид

pdq = тс dv. -\-dQ,

можно истолковать наглядно. Действительно, развертывая dq, можно написать это тождество в виде

P-Й-** + (/>![—*)<** = <*2.

и условие, необходимое и достаточное для того, чтобы левая часть была полным дифференциалом, выражается равенством

др др дк дх dq dq дк д%

Если как первоначальные переменные р, q, так и преобразованные переменные тс, х мы будем истолковывать как декартовы ортогональные координаты на плоскости, то увидим, что вполне канонические бинарные преобразования представляют собой так называемые эквивалентные преобразования, т. е. преобразования плоскости, оставляющие неизменными площади. В дальнейшем (п. 16) мы увидим, что и вполне канонические преобразования с 2л переменными тоже будут эквивалентными в том смысле, что в фазовом пространстве Ф2п, в котором р, q истолковываются как прямоугольные декартовы координаты, сохраняется неизменным объем ограниченных фигур 2л
§ 2. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

261

измерений. Однако только в рассмотренном здесь случае, когда п — 1, имеет место и обратное предложение, в силу которого всякое экви* валентное преобразование может рассматриваться как вполне каноническое.

Замечательное бинарное преобразование мы получим, если будем рассматривать р, q как декартовы ортогональные координаты и введем соответствующие полярные координаты р, 0, связанные с ними известными соотношениями

р = р cos 0, q = р sin 0.

В этом случае переменные тг = р2/2, х = 0 будут каноническими, так как якобиан От р = l/2ir cos х, q =Y^ sin х равен 1.

Это замечание допускает переход от всякой пары сопряженных переменных, имеющих характер декартовых координат на плоскости, к какой-нибудь паре, тоже сопряженной, имеющей характер полярных координат, или обратно.

Другое бинарное вполне каноническое преобразование, еще более элементарное, состоит в умножении одной из двух сопряженных переменных на произвольную постоянную лив одновременном делении на п другой. Ясно, что для такого преобразования определитель Якоби будет равен 1.
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 230 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed