Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
/(*10 = 0 (47)
известным, присоединим к нему символическое соотношение
8/= О, (54)
которое получается путем приравнивания нулю вариации, получаемой
функцией /, когда в ней Xi получают некоторые виртуальные при-
ращения, соответствующие любому из решений системы (36) и удовлетворяющие уравнению (47). Вследствие произвольности начальных значений величин Sjcf это символическое соотношение равносильно п уравнениям
g- = 0 (/=1,2,...,«), (540
которые вместе с уравнением (47) образуют систему, в общем случае несовместную относительно п аргументов jc, если t произвольно. Ho если эта система (47), (54) или, в явной форме, система (47), (54') совместна (мы увидим, что это будет иметь место в некоторых интересных конкретных случаях), то легко видеть, что речь идет об инвариантной системе.
Действительно, если будем исходить из тождества (предыдущий пункт)
(53)
и подставим вместо 8/ его явное выражение
282
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
и вместо dfjdt тождественное ему произведение If (п. 25), то получим, таким образом, тождество
(И)
і S= 1 і TSS I
откуда, принимая во внимание уравнения (47), (54'), получим
і = I
а это символическое соотношение в силу произвольности начальных значений Sxi равносильно п уравнениям
<i=1-2.........“)¦
которые и доказывают инвариантный характер системы уравнений (47), (54').
Мы будем называть уравнения (54'), выведенные из соотношения (54), условиями стационарности функции / (л; 11).
Если функция f (x\t) действительно есть частный интеграл, то, как мы знаем, будет X = O, так что на основании тождества (55) условия стационарности (54') образуют инвариантную систему, если даже ее рассматривают отдельно, т. е. независимо от соотношения (47); надо заметить, что так как число этих условий не превосходит п, то они всегда совместны относительно х при каком угодно значении t, а с другой стороны, уравнению (47) в этом случае можно всегда удовлетворить, распоряжаясь подходящим образом произвольной постоянной, которую можно представить себе включенной в f(x \t).
28. Распространение на инвариантные системы. Рассмотрим вообще т -\- 1 соотношений
Л(*|0 = О (г = 0, 1, ...,от), (50)
система которых является инвариантной относительно уравнений (36), для чего, как мы знаем, необходимо и достаточно, чтобы fr удовлетворяли системе дифференциальных уравнений вида
т
= S ^rsfs (Г = 0, 1, ..., от). (51)
S = O
Мы обобщим здесь теорему предыдущего пункта, доказав, что по отношению к уравнениям (36) инвариантной будет также (в предположении совместности) и система, которая получится путем присо-
§ 4. ИНВАРИАНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
283
единения к уравнениям (50) символического условия стационарности одного из этих уравнений, например
для всех виртуальных перемещений, соответствующих любому решению системы (36) и удовлетворяющих не только уравнению /0 = 0, но и остальным т соотношениям
Для этой цели заметим прежде всего, что если, как это соответствует природе вопроса, мы предположим, что т функций /,, /2, ..., /т независимы между собой относительно х, то можно будет, не нарушая общности, принять их за новые независимые переменные вместо стольких же переменных, например Xv х2, ...,хт, в силу чего система (36) преобразуется в эквивалентную ей систему
где функции Е(/1}/2, ..., fm, хт+1, ..., xn\t) по отношению к их аргументам ведут себя так же, как и X относительно первоначальных переменных; все сводится к доказательству, что система уравнений (50), (56) инвариантна относительно этой новой системы дифференциальных уравнений (36'). Условимся обозначать через F функцию, в которую обратится какая-нибудь функция F (X1, х2, .. ., хп 11), когда она приводится посредством уравнений (57).
Докажем сначала, что приведенное уравнение
является инвариантным относительно частичной приведенной системы
Действительно, возьмем снова первое из тождеств (51), которое, принимая во внимание только последние п — т уравнений (36'), можно написать в виде
положим в обеих частях Z1=Z2= ... =/m = 0 и, замечая, с одной стороны, что на основании равенств (51) имеем
(56)
Zi — о, Z2 — о, ..., Zm о*
(57)
dfu
(«= 1, 2, .. ., т),
dt
и
dxv_______
dt ~
(360
V
(* = !»+ 1, - Я),
/о = 0
(г/ = т 4-1, ..., п). (58)
т
п
т
v = m +1
284
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
а с другой, что, вследствие того, что мы должны переменные t, хт+1, хт принять не зависящими от Z1,/2, .... fm, найдем тождества'
d/о д/о д/о д/р , , 1 ч
(с = я» + 1, .... Я).
Таким образом, мы получим тождество
_ а _ m _
i+ S ІГМ^-ЗІЧ/»-
i> = m + l и=1
Так как левая часть есть не что иное, как полная производная от J0, вычисленная на основании уравнений (58), а правая имеет вид XZ0, это тождество показывает, что соотношение Z0=O инвариантно относительно системы (58).
Ho по теореме предыдущего пункта инвариантной будет и система
/о SZo = О,
если только выполняются условия совместности; а теперь уже легко видеть, что именно эта инвариантность влечет за собой то, что мы хотели доказать, т. е. что система, состоящая из уравнений (50) и соотношения SZ0 =s 0, инвариантна относительно системы дифференциальных уравнений (36') и, следовательно, также и относительно первоначальной системы (36), которой эквивалентна система (36').
