Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
- Uh. PkI
Все это остается справедливым, каково бы ни было преобразование (28).
Ho мы предположили, что преобразование является вполне каноническим, так что если будем предполагать выполненными условия (31), то из соотношения (32) следует
D2 = 1;
это соотношение, если обратимся к фазовому пространству Ф2п> в котором р, q так же, как и тс, х, истолковываются как декартовы ортогональные координаты, обнаруживает то замечательное обстоятельство, что вполне канонические преобразования определяют в фазовом пространстве эквивалентные преобразования, т. е. такие, которые оставляют неизменным объем.
17. Другая явная форма условий полной каноничности. Скобки Пуассона. Из сопоставления двух видов D и D*, которые можно придать функциональному определителю какого-нибудь преобразования, в случае полной каноничности вытекают другие важные следствия.
Введем прежде всего так называемые скобки Пуассона, относящиеся к двум каким угодно функциям и, v от 2 я аргументов р, q и определяемые тождеством
П
. . чг! / ди dv ____ ди dv \
1«,
Эти новые скобки, которыми мы будем широко пользоваться в дальнейшем изложении этой главы, так же как и скобки Лагранжа, являются альтернирующими и представляют собой в известном смысле, который мы сейчас же выясним, их взаимные символы.
Заметим, что выражение (32), полученное в предыдущем пункте для произведения по столбцам определителей D и D*, если примем во внимание равенства (31), показывает, что для вполне канонического преобразования матрицы этих определителей являются взаимно обрат-
§ 2. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
265
ными в обычном смысле, т. е. что всякий элемент одной равен алгебраическому дополнению элемента, занимающего то же место в другой, деленному на величину определителя последней. Ho в этом случае, как известно, взаимная обратимость дает место характеристическим тождествам не только относительно столбцов, но и относительно строк, т. е. сумма произведений элементов і-й строки определителя D на элементы, занимающие те же места в J-й строке определителя D*, будет равно 1, если I = ], и нулю, если i^j, так что необходимыми следствиями равенств (31) будут уравнения
(?i, ?j) = 0, (?, fy) = о, (CPi, fy) = Sy (г, ; = 1,2,..., п). (31')
Этот вывод обратим: действительно, если квадрат функционального определителя (Z)2) преобразования (28) вычисляется умножением D на D* по строкам вместо столбцов, то, принимая во внимание только что данное определение скобок Пуассона, найдем
D2 = D • D* =
(?<• ’Ь') — (щ. tP j)
— (<W. tj)
(U= 1,2, ...,я). (320
Достаточно будет предположить, что имеют место равенства (32'), чтобы вывести отсюда при помощи тех же самых рассуждений, которые были применены выше, что справедливы также и соотношения (31).
Поэтому заключаем, что равенства (31') в новой форме дают необходимые и достаточные условия для того, чтобы преобразование (28) было вполне каноническим.
18. КаНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРИКОСНОВЕНИЯ.
Хотя это и не имеет прямого интереса для последующего изложения, все же не бесполезно отметить, кстати, внутреннюю связь между вполне каноническими преобразованиями и теми преобразованиями, которые в геометрии носят название преобразований прикосновения.
Для определения последних обратимся к пространству (евклидову) п-\-1 измерений Sn+1, в котором г, qlt q%, . .., qn обозначают декартовы ортогональные координаты. Назовем элементом (гиперплоско-стным) или элементарной площадкой этого пространства Sn+1 совокупность какой-либо точки P0 (центр элементарной площадки) и непосредственно прилегающей к ней области какой-нибудь проходящей через нее гиперплоскости Sn. Если Z0, q° суть координаты точки, то уравнение гиперплоскости будет иметь вид
П
Z-Z0=^1 Pl (qh — q°h), (33)
Ь=1
где р° обозначают п вполне определенных постоянных, определяющих положение гиперплоскости; поэтому за координаты элемента можно принять 2 п 1 чисел Z0, q°, р°. Таким образом, всякая точка является
266
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
центром оо” элементов, а все пространство 5п+1 оказывается сово-купноетью оо2”+1 элементов z, q, р.
Каждая гиперповерхность Vn
во всякой своей точке Z0, q° имеет, вообще говоря, вполне определенную касательную гиперплоскость, уравнение которой определяется равенством (33), если положить в нем
так что гиперповерхность Vn оказывается совокупностью ооп определенных элементов.
В более общем случае, если задается какое-нибудь многообразие Vm с каким угодно числом измерений /те О, то во всякой его точке P0 будет определено как касательное какое-нибудь пространство Sm т измерений, а так как этих касательных многообразий будет оо т и через каждое из них в пространстве 6'п+1 проходит оо'*-”' гиперплоскостей, то мы можем сказать, что и многообразие Vm является совокупностью ооп элементов, каждый из которых состоит из точки P0 гиперповерхности Vm и какой-нибудь из гиперплоскостей, проходящих через Sm и касательных к Vm в точке P0. Таким образом, соответственно значениям т=чг, п—I, .. ., 2, I, О мы будем иметь в пространстве 5п+1 (я-f-l) категорий многообразий оо« элементов, последняя из которых (т = 0) содержит все точки пространства 5п+1, рассматриваемые каждая как связка элементов, имеющая в ней свой центр.
