Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
250
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Так как р, q, г связаны с лагранжевыми координатами 0, ®, ф и с их производными известными соотношениями (т. I, гл. III, п. 32, 33)
р = ф sin 0 sin ® -j— 0 COS ®,
<7 = ф Sin 0 COS ср — Ь sin tp,
/¦ = 0* cos 9 -j- tp,
то мы видим, что квадратичная форма T относительно 0, tp, не будет, как в случаях (а) и (б), ортогональной; поэтому для перехода к канонической форме (T) здесь необходимо обратиться к общему приему исключения.
Если введем направляющие косинусы
f J = sin 0 sin CS, Y2 == s^n 9 cos ?, ЇЗ cos
неподвижной оси С относительно осей, неподвижных в теле, то переменные рь р9, рф, сопряженные с Й, tp, ф (на основании уравнения (13) и только что приведенных выражений для р, q, г), будут определяться равенствами
P9 = = Ap cos ср — Bq sin tp,
дТ _
р^тгСг’
р*=5=Аръ ^Вдъ Спз;
(14)
отсюда, полагая для простоты письма
Pi/—Р? cos I
Sm I
получим
Ap= COS <р-|-0Sincp1 Bq = —Pa sin «р -{- a cos tp, (14')
Cr = Py
и по не подстановки в выражение (13) найдем
ҐТЛ 1 f (Pb COS 9 + a sin <p)a I (/>0 Sin? — а COS <р)2 , р\\
*• > ~~ 2 \ А В * С J"
7. Теорема Дирихле. Вернемся на один момент к теореме Дирихле, имея в виду эту теорему как для динамического (гл. VI, п. 5), так и для общего (гл. VI, п. 17) случая.
В синтетических доказательствах этой теоремы, в только что
упомянутых пунктах, мы обращались к пространству A^n состояний
§ 2. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
251
движения, т. е. к пространству, в котором переменные Лагранжа q, q истолковывались как декартовы прямоугольные координаты. Теперь на основании соотношений (2) или эквивалентных им соотношений ('2') мы имеем одно-однозначное соответствие между этим пространством A2n и фазовым пространством Ф2п; если примем во внимание, что свойство какой-нибудь функции иметь минимум остается инвариантным по отношению ко всякому такому соответствию, то увидим, что синтетическое доказательство теоремы Дирихле, указанное в пп. 6,17 гл. VI, можно повторить без существенных изменений относительно координат р, q.
§ 2. Канонические преобразования
8. Определение. Пусть задана какая-нибудь система дифференциальных уравнений первого порядка в нормальном виде
^ = Xt(x\t) (1=1.2, ...,я); (15)
выполним над неизвестными функциями х какое-нибудь преобразование, возможно, заключающее в себе и t,
У] = УAx И С/ = 1. 2.я), (16)
подчиненное одному только существенному условию обратимости. Мы предполагаем, таким образом, что для функций (16) могут быть однозначно определены, по крайней мере в некоторой области значений у и t, обратные функции
Xi = xt(y\t),
для чего, как известно, необходимо и достаточно, чтобы в этой области не был тождественно равен нулю якобиан от у по х.
Так как полная производная от у по t равна
*=1
то непосредственно ясно, что система, получившаяся в результате преобразования системы (15), будет также нормальной.
Так, в частности, если начальная система была канонической, то преобразованная система будет во всяком случае нормальной. Ho,
вообще говоря, эта новая система не будет канонической.
Будем называть каноническим всякое преобразование п пар переменных р и q в новые п пар переменных тс и х, которое, будучи,
возможно, зависимым от / и обратимым, преобразовывает всякую
252
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
каноническую систему (5) переменных р, q в каноническую систему
7Г
У.
h — h ~
дФ
d*h
ЙФ
3?
(Л = 1,2..........................л"),
где новая функция Гамильтона Ф может быть какой угодно (не обязательно равной преобразованной из первоначальной функции Н).
С. Ли1) полностью определил все канонические преобразования посредством одного дифференциального2) условия, которое мы укажем, пользуясь исследованиями, принадлежащими Морера3), в ближайшем п. 10, причем ограничимся лишь, подтверждением достаточности. Для этого здесь необходимо предпослать некоторые вспомогательные рассуждения.
9. О пфаффианах и их союзных системах. Пусть дан любой пфаф-фиан с переменными Xi (i = 1, 2, . .., п)
п
ф=2*« dXb
i = I
где Xi обозначают л произвольных функций от х (конечно, правильных в некоторой области). Как и в п. 57 гл. V, рассмотрим вместе с дифференциалами dx другую систему независимых дифференциалов 8л:
*) Марий Софус Jl и родился в 1842 г. в Нордфиорде в Норвегии, умер в 1899 г., в Осло. После одного года преподавания в шведском университете в Лунде, он перешел в 1872 г. в университет в Осло, из которого в 1886 г. был приглашен заменить Клейна в Лейпцигском университете. Здесь в течение двенадцати лет он собрал вокруг себя большую группу учеников разных национальностей. В 1898 г., когда здоровье его было уже подорвано болезнью, приведшей его к могиле, он с большими почестями был приглашен на родину на кафедру теории групп преобразований, созданную им в университете в Осло. Он любил связывать свои работы с работами Понселе и Плюккера с одной стороны, и с работами Галуа — с другой. Ho благодаря смелой новизне взглядов, силе геометрической интуиции и независимости мысли, не-подчиняющейся чьему бы то ни было влиянию, С. Ли занимает в истории математики совершенно самостоятельное место. Благодаря новой принадлежащей ему концепции задачи интегрирования дифференциальных уравнений он пришел, с одной стороны, к открытию преобразований прикосновения и к теории инвариантов этих преобразований, а с другой стороны, к теории конечных непрерывных групп преобразований, которая благодаря совершенной полноте, изяществу методов и результатов я неисчерпаемой возможности приложений остается вечным памятником его имени.
