Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
5) Die StOrungstheorie i nd die Beriihrungstransformationen, Arch, for Math.., т. II, 1877, стр. 129—156; Gesamm. Abhardl., т. Ill; Leipzig-Kristiania, Teub-ner-Aschehoug, 1922, стр. 295—317.
3) G. Morera, Sulla trasformazione delie equazioni differenziali di HamM-tpn, R?nd. Асс. Lincei1 т, XII, 1° sem, 1903, стр. 113—122.
І 2. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОбРАЗЬВАНЙЯ
253
и введем билинейный ковариант у пфаффиана Ц», определяемый равенством
то станет ясно, что для того чтобы он был равен нулю тождественно относительно 8л; (т. е. при каких угодно значениях этих дифференциалов), необходимо и достаточно, чтобы dx удовлетворяли N уравнениям
Эта система п уравнений Пфаффа называется союзной с данным пфаффианом ф; легко видеть, что, как и билинейный ковариант, она инвариантна по отношению к преобразованию переменных.
Действительно, можно заметить, что если вследствие определенного преобразования переменных Xi в переменные Xi пфаффиан ф перейдет в пфаффиан
то билинейный ковариант ^ по выполнении преобразования выразится суммой
го новая союзная система уравнений, т. е. система уравнений, дающая необходимое и достаточное условие для того, чтобы билинейный
П
QKdJcj
<=і і=і
Если, оставляя явными 8л: и полагая для краткости
(J = 1,2, ...,и)
напишем этот билинейный ковариант в виде
П
и=1, 2,(17)
П
j=і
так что если положим
254
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ковариант / обращался тождественно относительно ох в нуль, будет иметь вид
^==O (/=1.2 ,...,я). (17')
Если примем теперь во внимание, что в силу линейности и обратимости соотношений, связывающих 8* с 8л;, произвольность одних величин влечет за собой произвольность других, то заключим, что система (17'), по крайней мере с точностью до замены переменных, эквивалентна системе (17), т. е., как это и утверждалось выше, система (17') эквивалентна преобразованной из системы (17).
Кроме того, нужно заметить, что если к пфаффиану ф присоединить полный дифференциал dQ, то союзная система останется неизменной, так как оба пфаффиана 4 и ф + dQ имеют один и тот же билинейный ковариант.
10. Достаточное условие для обеспечения кэнонической природы преобразования. После этого отступления возьмем снова любую каноническую систему
• _ дН Ph~ dqh
• _ дН Чп~ дРп
(.%=1, 2, ..., я) (5)
и заметим прежде всего, что она, по существу, нр отличается от системы, союзной с пфаффианом
Ф= S PndQh—Hdt.
Н — 1
Действительно, соответствующему билинейному коварианту
X = 2 (bPh dQh — dph oqh) — IH dt-\- dH It, h =1
развертывая ЬН, можно придать вид
х - S {- (*» ¦+ Щі dt) +Шdt)Ьрп}+
%«)*¦
так что, полагая равными нулю коэффициенты при 8р, 8q, 81 и деля в полученных таким образом уравнениях обе части на dt, мы получим систему, союзную с пфаффианом ф, в виде
dph____дН dqh_____дН dH дН /и___________, 0
дай ’ dt
+ (dH-
§ 2. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
235
Первые 2я из этих уравнений составляют как раз діанную каноническую систему, а последнее, как мы видели в п. 4, является их необходимым следствием.
После этого можно утверждать, что обратимое преобразование
между п парами переменных р, q, и тс, х будет каноническим, если будет удовлетворяться тождественно уравнение вида
где H0 и Q обозначают две функции, a priori какие угодно, от 4л —J— 1 переменных р, q, тс, х и t.
Действительно, тождество между пфаффианами (19), если из обеих частей равенства вычесть Hdt, можно написать в виде
поэтому союзной системой с пфаффианом в левой части будет как раз каноническая система (5), а союзной системой с пфаффианом в правой части, так как полный дифференциал dQ ничего к ней не прибавляет (предыдущий пункт), будет та каноническая система относительно тс, х, которая имеет характеристической функцией H—H0, причем эта функция предполагается выраженной при помощи уравнений (18) посредством одних только тс, х, t. Тождественность двух пфаффианов, по меньшей мере с точностью до преобразования переменных (18), влечет за собой аналогичную тождественность соответствующих систем, т. е. двух только что названных канонических систем; поэтому заключаем, что система, получающаяся после преобразования посредством формул (18) какой-нибудь канонической системы (5) с характеристической функцией Н, является не только нормальной (п. 8), но и канонической, и имеет в качестве характеристической функции H—H0.
He будет лишним отметить, [что всякий раз, когда имеет место тождество (19) в написанной форме, величины тс для преобразованной системы составляют первый ряд переменных, величины X — второй.
11. Канонические преобразования, зависящие от произвольной функции от 2л -}- 1 аргументов. Мы придем к одному классу канонических преобразований, который, как увидим' ниже (§ 4), находит замечательные применения, если введем какую-нибудь произвольную функцию V, зависящую от нескольких первоначальных переменных и от
П
П
Phdqh = S Hd4+H0dt-\-dQ,
(19)
= 1 H = I
п
п
S Ph^qn — Hdt= S — (Н—H0)dt-\-dQ',
