Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
ные равенствами (2'); считая t постоянным, придадим величинам р, q произвольные бесконечно малые приращения Ьр, 8q, благодаря чему функция H получит приращение
С другой стороны, на основании соотношения (3') то же самое приращение можно написать в виде
Петербургской Академии Наук, где занимал кафедру прикладной математики.
Труды М. В. Остроградского посвящены общим вопросам аналитической механики и решению ряда частных задач. Он обобщил принцип возможных перемещений на случай освобождающих связей, а также указал на его применение ,к вопросам удара.
Каноническую форму уравнений движения и теорему о характеристической функции он распространил на случай механических систем, связи которых явно зависят от времени.
В своей работе об изопериметрах он изложил начало наименьшего действия с точки зрения более общей, чем это было сделано до него Гамиль-¦тоном.
Хотя направление научного творчества М. В. Остроградского связано главным образом с общими проблемами механики, но ему принадлежит также ряд весьма ценных работ по гидродинамике, теории притяжения, теории упругости и баллистике. Оценка работ М. В. Остроградского, сделанная Н. Е. Жуковским, напечатана в „Математическом сборнике" за 1902 г., т. XXII. (Прим. ред.)
16 З&х. 2368. Т. Леви-lIhвита и У. Амальди
П
H(p\q\t)= 2 PhVh-
ft —I
(зо
истолковывая здесь q как символы соответствующих функций от
как независимые переменные, a q—-как функции от них, выражен
П
П
‘242
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
или, принимая во внимание уравнения (2) и подставляя Uh вместо qh,
из сравнения двух выражений, полученных таким образом для ЬН, в силу произвольности приращений Zph, bqh, получим
, А дН ( д2 \ дН ,, і о .
~{ц;)^-тгн (* = '.2..................”>•
Поэтому системе первого порядка (I'), (2'), эквивалентной лагран-жевой системе (1), можно придать упомянутую выше гамильтонову форму
дН \
Pb = -Tqг {
(А= 1,2, ...,п). (5)
Чь-
Всякая система дифференциальных уравнений первого порядка этого вида, какова бы ни была функция H(p\q\t), называется канонической или гамильтоновой системой; переменные р и q называются каноническими переменными, причем величины р называются переменными первой серии (это те функции, производные которых в выражении посредством H имеют явно знак минус), а величины q — переменными второй серии; ясно, конечно, что речь идет о различии совершенно несущественном, так как обе серии переменных обменяются местами, если изменить знак у функции Гамильтона.
2. В предыдущем пункте мы видели, что при условии Д ф О уравнения
Ph=-?- (А=1,2, й) (2)
dq
h
разрешимы относительно q в виде
qh^Wh (А= 1,2,..., я),
где H {p\q\t) означает функцию, определяемую равенством (3'). Отметим здесь, что и, обратно, эти последние уравнения разрешимы относительно р и, следовательно, эквивалентны уравнениям (2), если отличен от нуля гессиан функции H
дт
§ 1. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМА ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
243
Если, допустив эту обратимость соотношений, связывающих р с q, продифференцируем любое из переменных р по любому другому из них, рассматривая его как сложную функцию через посредство q, то получим тождество
2 д-к = К, (*=_!, 2
Й=1 дч dPl
где, как обычно, Iya означает единицу, если индексы Ли/ равны между собой, и нуль, если они различны; достаточно принять во внимание выражения для р и q соответственно через H и 2, чтобы предыдущим тождествам можно было придать вид
д28 д2Н * /и г л о
/ / а ¦ з • д "Т** - M №i I ------- 1, 2, . . . , Я).
*=1 dciUdcIk dPlpPl
Таким образом, мы видим, что элементы гессиана A1 функции H взаимны (т. е. равны алгебраическим дополнениям, деленным на определитель) с элементами гессиана Д функции 2, откуда, в частности, имеем тождество
M1==I;
из этого тождества следует, что если один из гессианов (функции 2 по q или функции H по р) конечен и отличен от нуля, то то же можно сказать и о другом.
Отсюда легко вывести, что как при ДфО любую лагранжеву систему можно преобразовать в каноническую систему, так и, обратно, любую каноническую систему, характеристическая функция H которой имеет отличный от нуля гессиан A1, можно рассматривать как преобразованную из лагранжевой системы.
Это доказывается путем, обратным тому, которым мы от лагранжевой системы (1) перешли к канонической системе (5). Именно, отметив, что в силу предположения ДхфО вторая группа уравнений (5)
(Л==1 2’ "-В)
разрешима относительно р в виде
Pfc = MtfkIO (А —1. 2, л),
Мы введем функцию
16*
2= ^iPhQh-н>
й=1
244
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
которая, если принять во внимание только что указанные выражения для р, выразится через q, q, t. Это и есть, как это легко проверить, лагранжева функция системы, которая порождает заданную каноническую систему.
3. При изучении канонических систем прибегают к геометрическому представлению, аналогичному тому представлению, которое дается пространством A2n состояний движения для решений лагранжевой системы (гл. VI. п. 2). 2 п канонических переменных р, q истолковываются как декартовы прямоугольные координаты линейного пространства Ф2п 2п измерений, которое, следуя Джиббсу1), называют фазовым пространством.
