Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-Чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 2" -> 101

Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.

Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 2 — Москва, 1951. — 556 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteorticheskoyfiziki1951.djvu
Предыдущая << 1 .. 95 96 97 98 99 100 < 101 > 102 103 104 105 106 107 .. 230 >> Следующая

Глава X

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

§ 1. Гамильтонова форма лагранжевых систем

1. Канонические системы. Возвратимся опять к изучению лагранжевых систем (п. 41 гл. V), т. е. систем из п дифференциальных уравнений второго порядка с п неизвестными функциями qv q2, . .., qn от t, имеющих вид

d д2 д2 п ґг. л п \

-г - = 0 (* = 1.2.....п), (1)

dt dqh dqh

где 2 обозначает какую угодно функцию (правильную в некоторой области) от координат q, от их первых производных q и, возможно, от независимой переменной t. Как мы уже видели, во всякой области п измерений, в которой гессиан

5*8

dqh dqk

лагранжевой функции Й не будет тождественно равен нулю, система (1) будет нормальной, т. е. разрешимой относительно вторых производных q от неизвестных функций.

Далее, из анализа известно (и в частных случаях нам приходилось применять этот способ), что всякую нормальную систему второго порядка с п неизвестными функциями можно заменить бесконечным множеством способов эквивалентной ей системой первого порядка, тоже нормальной, с 2п неизвестными функциями или, как мы будем говорить теперь, порядка 2я. Достаточно взять за новые неизвестные функции, наряду с q, п их первых производных q, или, вообще, и каких угодно независимых между собою функций от q, которые могут содержать также координаты q и время t.

Классическое преобразование Гамильтона, которое мы будем здесь рассматривать, является только частным применением этого способа и состоит в том, что за вспомогательные неизвестные принимают переменные

Ph = -P- (А = 1, 2,...,«), (2)

Называемые сопряженными переменными относительно q или, как мы условились говорить в п. 42 гл. V, моментами (или обобщенными импульсами), вследствие механического истолкования, которое
240

ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

им можно дать в некоторых типичных случаях динамики голономных систем. Уравнения (2) при A 0 представляют собой п уравнений относительно q; поэтому в области, в которой не только функция 2 является правильной, но сохраняет свою силу и это неравенство, они будут разрешимы относительно q, и мы будем иметь

?A = «*(Pl?U) (А== 1, 2, ... , л); (2')

с другой стороны, уравнения (1) на основании уравнений (2) и эквивалентных им уравнений (2) дают

л-Щ;., (*=1-2........................*>•

TaK что производные от новых неизвестных р будут выражены через р, q, t, как это имело место для q в силу уравнений (2').

Мы пришли, таким образом, к нормальной системе первого порядка с 2п неизвестными функциями р, q, состоящей из уравнений (I'), (2'); эти 2л уравнений можно назвать эквивалентными первоначальной лагранжевой системе (1), так как, с одной стороны, они получаются из уравнений (1) только что указанным однозначным способом, а с другой стороны, обратно, исходя из соотношений (I'), (2'), мы возвратимся к уравнениям (1), исключая р посредством уравнений (2).

Это и есть, по существу, преобразование Гамильтона системы (1). Остается еще установить одно особенно важное обстоятельство, заключающееся в том, что правые части уравнений (I'), (2') можно выразить посредством одной единственной функции от р, q, t, называемой функцией Гамильтона х) или характеристической функцией, так что система первого порядка (I'). (2') с формальной точки зрения будет столь же простой, как и первоначальная лагранжева система, зависящая от одной только функции g *). Функция Гамиль-

В. Р. Гамильтон родился в Дублине в 1805 г., умер в Дунсинке В 1865 г., был профессором астрономии в~Дублинском университете и прези-дентом Ирландской академии. Изобрел метод кватернионов, представляю' щий собой алгоритм полного и систематического геометрического исчисления. Под влиянием трудов Гамильтона, Грассмана и Беллавитиса возникло менее полное, но более элементарное понятие о векторах, которое теперь всюду в употреблении. Классическими являются и вклады Гамильтона в геометрическую оптику, в дифференциальную геометрию систем прямых, в теорию уравнений с частными производными и в аналитическую механику, на основе которой он построил теорию распространения света.

*) Гамильтон исследовал более частный случай, когда функция Лагранжа 2 не зависит от t. Излагаемые ниже преобразования принадлежат М. В. Остроградскому.

Остроградский Михаил Васильевич родился в 1801 г. в деревне Пашенной, Кобелякскоро уезда, Полтавской губернии, умер в 1861 г. в Москве. Обучался в Харьковском университете, а затем в Париже, где и началась его педагогическая и научная деятельность. В 1830/31 гг. вернулся на родину и был избран сначала адъюнктом, а затеи вскоре действительным членом
§ 1. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМА ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ

241

тона выражается через функцию Лагранжа в виде

П

(3)

и была уже введена нами в п. 43 гл. V (полная энергия в динамическом случае); только здесь она должна рассматриваться выраженной через р, q, t посредством уравнений (2), (2'); для того чтобы лучше выявить это обстоятельство, мы можем представить ее в виде

р, q, t, определяемых уравнениями (2').

Чтобы убедиться, что правые части как уравнений (Г), так и уравнений (2') можно выразить очень просто посредством функции Н, достаточно применить следующий классический способ, принадлежащий самому Гамильтону. Будем рассматривать величины р, q, t
Предыдущая << 1 .. 95 96 97 98 99 100 < 101 > 102 103 104 105 106 107 .. 230 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed