Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
при
П П
Ту = ~2 ЧкШк> Ti = au4h>
Й = 1 Й = 1
причем T0, потенциал U, а также коэффициенты ahk,. аь зависят только от q и, возможно, от времени t.
Для того чтобы перейти к выражению функции Гамильтона Н, определяемой равенством (3), заметим прежде всего, что уравнения (2), определяющие обобщенные импульсы р, принимают здесь вид
п
Pk-{h=\} 2,...,п). (10)
§ I. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМА ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
247
Если обозначить, как обычно, через a^hk> величину, взаимную с ahle в дискриминанте ||afcft|| квадратичной формы T2 (т. е. алгебраическое дополнение элемента аш, деленное на определитель), то уравнения (10) после разрешения относительно qh дадут
П
Чп — 51 (аШ (Рк~аъ) (А = 1, 2,..., «).
ft=і
С другой стороны, по теореме Эйлера имеем
П П
V дТ2 • 0_ Vi rf7I * T
^ дднЯл~ Т* S Ж qh^ U
H = 1 ’л S = 1 чь
так что справедливо тождество
Sf-^ = 2ra+rlt
которое в рассматриваемом здесь динамическом случае позволяет придать уравнению (3) вид
H = (Ti)-T0-U, (11)
где (T2) обозначает функцию от р, q, t, 'получающуюся из T2 при помощи подстановки вместо q их выражений (10'). Если, в частности, связи не зависят от времени и, следовательно, живая сила T сводится к своей квадратичной части Ti, то имеем просто
H = (T)-U, (1Г)
т. е. функция Гамильтона есть не что иное, как полная энергия системы, как это уже отмечалось в п. 43 гл. V.
Теперь остается только выразить явно через р, q, t квадратичную форму (T2), а для этой цели заметим, что эту форму можно представить в виде
П П
Т<1 2 4h ®hlt4k>
ft=] ft=l
выполняя первое частичное исключение при помощи формул (10), получаем
п
1~2 — ~2 Ч h (Ph ^ft) >
Л = 1
после этого на основании равенств (10') заключаем, что
п
= ? 2 аШ (Pb - ^
ft=1
248
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
и, в частности, в случае не зависящих от времени связей,
п
(T) = Y S а<ШPhPk-
(12')
Й = 1 ft=1
Подставляя это выражение для (T) в равенство (11) или соответственно в (11'). мы увидим, что функция Гамильтона представляет собой квадратичную функцию относительно р, вообще говоря, неоднородную, с коэффициентами, зависящими от ^ и t; она становится однородной с коэффициентами, выражающимися только через q, когда связи не зависят от времени.
Это новое выражение (12) или (12') в противоположность первоначальному, представленному в переменных q, q(и /), называется канонической формой квадратичной части T2 живой силы или полной живой силы Г; в этом последнем случае, когда связи не зависят от времени, мы имеем следующее практическое правило: чтобы перейти от выражения T к выражению (T), достаточно написать взаимную с T квадратичную форму, подставляя в нее вместо каждой qh соответствующий момент ph.
Далее, если живая сила Т, выраженная через q, имеет ортогональный вид
то, кроме подстановки переменных, все сведется к замене каждого коэффициента аи его обратным Ijaii.
6. Примеры, а) В случае, когда свободная точка с массой, равной единице, отнесена к сферическим координатам р, О, <?, живая сила определяется равенством
так что переменными, сопряженными с р, 0, ®, будут соответственно
Отсюда непосредственно или замечая, что форма T является ортогональной, и применяя только что.высказанное правило, получим
П
T — - j (р2 -f~ р2Й2 -(- р2 Sm2 0ср2)
Pp= P. Ph = Р2’9, = P2 sin3 6 ф.
Аналогично, в цилиндрических координатах г, ®, г (из которых две первые представляют собой не что иное, как полярные коорди-
§ 1. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМА ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
249
наты в плоскости z = 0) имеем
Г=1(/2 + г‘42 + г2)
и, следовательно,
( П = \ (Pr + уг Pv + Pi) •
б) В качестве второго примера рассмотрим систему из N-j-11) свободных точек Pi (і = О, I, ...,/V) и примем за лагранжевы параметры 3 (W-J-I) соответствующих декартовых прямоугольных координат Si, yj{, Ci относительно системы осей 2&)С Обозначив через /и,-массу точки Pi, будем иметь
N
^ = T S«<$+^+ Ф.
ї — О
так ЧТО ДЛЯ сопряженных переменных TTi, 7г> Pi имеют место выражения = Xi = Wi-Jii. Pi = WiCi (< = 0, 1,.. .,ЛО;
эти величины, очевидно, представляют собой проекции количеств движения.
В согласии с последним замечанием предыдущего пункта, канонической формой живой силы будет здесь
N
(Н = Y 2 -Jr (71* + й + рЭ*
» = 0
в) Рассмотрим, наконец, твердое тело, закрепленное в точке О, и примем за лагранжевы координаты углы Эйлера 0, <р, ф, определяющие положение главных осей инерции относительно точки O1 неподвижных в теле, по отношению к любой неподвижной системе ОЦС.
Если обозначим, как обычно, через р, q, г проекции (на оси, неподвижные в теле) угловой скорости ю тела и через А, В, С— главные моменты инерции, то живая сила, как мы уже знаем (гл. IV, п. 10), определится равенством
Т = -\ (Ap2 + Bq2 + Cr"*). (13)
Мы говорим здесь об W+1 точках (а не об N, как это могло бы показаться более естественным), потому что в большей части задач небесной механики обычно одна из точек (так называемое центральное тело Pn) имеет преобладающее влияние на движение остальных точек (гл. III, п. 22).