Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Л = 1 A=I
256
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
такого же числа преобразованных переменных, например от q и от к, а также, возможно, от t.
Единственным существенным предположением является лишь то, чтобы смешанный функциональный определитель
V =
dqh дщ
не был тождественно равен нулю.
При этом предположении легко подтвердить прежде всего, что равенства
dV dV ,, . і о ч
Pb-dqh> (А, г—1, 2, .л) (20)
действительно определяют преобразование между р, q и тг, к. В самом деле, вторые я уравнений (20), так как якобиан от dV/dTti по q, как тождественный с V, будет отличен от нуля, разрешимы относительно <7 в виде
?ь“?й(тсМ0 (Л= 1, 2, ..., л);
достаточно присоединить эти уравнения к уравнениям, которые выводятся из первых л из уравнений (20), чтобы получить преобразование (18) общего типа.
Нетрудно доказать, что мы имеем здесь каноническое преобразование, для чего достаточно проверить, что уравнения (20) удовлетворяют (при надлежащем выборе двух функций H0, Q) тождеству (19).
Для этой цели заметим, что из уравнений (20) следует соотношение
^lPhdqh + —2 dqhjr^d1lh)'
ft = l ft-= 1
в то время как правая часть есть не что иное, как
dV-ITtdt'
вторую сумму в левой части можно написать в виде
п п
d 2 1Vft — 2 % d*h’ ft=.i ft=і
так что в качестве следствия из соотношений (20) мы находим тождество
п п п
^iPhdqh = ^hdxh~~dt-{-d^V — ^ иАхА).
h si h « і Л =5= 1
§ 2. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
257
Таким образом, утверждение будет доказано, если положим H0=Q=V-^iVh,
Л» 1
поэтому заключаем, что всякое преобразование типа (20), в предположении V ф 0, является каноническим, причем вместо характеристической функции H входит в этом случае функция
о, SV
выраженная, естественно, через к, х, t.
12. Вполне канонические преобразования. Если функция V явно не зависит от t, то преобразование (20), примененное к какой-нибудь канонической системе, не только сохранит ее типичный вид, нр и оставит неизменной ее характеристическую функцию, в том смысле, что преобразованная каноническая система будет иметь характеристической функцией преобразованную из первоначальной функции Н.
Преобразование, обладающее этим двойным свойством, называется вполне каноническим.
Из заключения п. 10 следует, что в совокупности определенных там преобразований вполне каноническими будут только преобразования, удовлетворяющие тождеству (19) при H0 = 0, т. е. тождеству
П П
PhdQh — % dxH ~f" (19')
й = 1 й=1
Легко убедиться, что к этому классу (вполне) канонических преобразований мы придем всякий раз, когда будем искать преобразование (18), не зависящее от t и удовлетворяющее общему тождеству (19). Действительно, если общее тождество (19) напишем в виде
PhdQh-Hi KhdH = H0dt-\-dQ (21)
й—1 й=1
И представим себе, что величины р, q выражены только через тс, х при помощи предполагаемого преобразования, не зависящего от t, то увидим, что левая часть не зависит ни от t, ни от dt Так как
она должна быть тождественна с правой частью по отношению
к 2и —J— 1 аргументам тс, х, t, то заключаем, что прежде всего должно удовлетворяться тождественно равенство
Wo+W — °;
с'другой стороны, OQ/дщ, dQ/dx.h должны быть независимыми от t. Поэтому Q будет вида Q1-J- Т, где Q1 не зависит от t, a T является
17 Зак. 2368. Т. Леви-Чивета и У. Амальди
258
ГЛ. t. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
функцией этого единственного аргумента; равенство (21) примет тогда вид
П п
HiPndgn= 2 +^Q1,
Й=1 ft =1
т. е. совпадет с равенством (19'), что мы и хотели доказать.
Еще более частным случаем вполне канонических преобразований являются так называемые однородные преобразования, т. е. обратимые и не зависящие от t преобразования п пар р, q в тс, х, удовлетворяющие дифференциальному тождеству
п п
2 2 (19")
Й = 1 Й = 1
мы придем к одному интересному специальному классу таких преобразований, задавая произвольно при одном только предположении обратимости преобразование, не зависящее от t, между п первоначальными переменными, принадлежащими одному ряду, и п преобразованными переменными, тоже принадлежащими одному ряду, например между q их
Qh = tJhiv-U *2> •••» н) (Л=1. 2, п). (22)
В этом случае все сведется к тому, чтобы найти, какие уравнения типа
Ph = Phi1* !,W2,..., it„; Xj, ..., х„) (ft = 1, 2, ..., и) (23)
надо присоединить к равенствам (22), чтобы тождественно удовлетворить (19"); для этого достаточно подставить в него выражения (22) и приравнять в обеих частях коэффициенты при произвольных дифференциалах dxh, чтобы однозначно получить уравнения
п
= 2Л!?- (А=1, 2, ..., я). (24)
<=і
Эти уравнения будут линейными относительно я, р с коэффициентами, зависящими только от х, и однозначно разрешимыми относительно р, если на основании предполагаемой обратимости уравнений (22) якобиан ||д<7*/дхЛ|| не равен тождественно нулю.
С другой стороны, к тому же результату можно прийти, разрешая предварительно уравнения (22) относительно х
H = HifIv Яъ Яь) (А = 1, 2, ..., п) (220 и подставляя в уравнения (19"); после этого сравнение коэффициентов при dq однозначно приведет к равенствам
