Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
В пространстве Ф2п всякое решение р = р(t), q = q(t) канонической системы изображается кривой (интегральной), которая, ввиду того, что параметр t представляет собой меру времени, часто называется траекторией. Соответственно возможному выбору 2п произвольных координат, от которых зависит общий интеграл канонической системы, имеется оо2" траекторий, из которых одна и только одна проходит через данную точку фазового пространства Ф2п.
4. Интегралы. Для канонической системы (а также, как известно, и для всякой другой системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка) интегралом называется соотношение вида
/О’MO = const,
которое тождественно удовлетворяется всяким решением системы. Само собой разумеется, что постоянной в правой части надо приписать для всякого отдельного решения подходящее значение, а именно: если р0, qQ, tQ являются соответствующими начальными значениями величин р, q, t, то эта постоянная должна быть положена равной / (Po IЯ о I *о)' Иногда интегралом системы называется также сама функция f(p\q\t)\ однако такую функцию точнее называть инвариантом по той причине, что в фазовом пространстве функция f(p\ q\ t) сохраняет постоянное значение вдоль всякой траектории.
Заметив это, вспомним, что для лагранжевой системы (1), когда функция 2 не зависит от t, имеет место (гл. V, п. 43) обобщенный
¦) Дж. В. Джиббс (Josian Willard Gibbs) родился в 1839 г. в Ньюгавене (Коннектикут), умер там же в 1903 г. Получил степень доктора в своем родном городе, затем некоторое время был в Париже, Берлине и Гейдельберге, где слушал лекции Гельмгольца и Кирхгоффа. С 1871 г. до конца жизни был профессором математической фи ики в университете в Ньюгавене. Он внес важный вклад в термодинамику, в аналитическую механику, которой посвятил специальный том, а также в электромагнитную теорию света и в векторные методы, которые нашли у него изящное применение к вычислению орбит.
Вскоре после его смерти его мемуары были изданы в двух томах (Лондон, 1906 г.).
§ 1. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМА ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
245
интеграл энергии
W = COnst. (6)
Указанная выше эквивалентность между всякой лагранжевой системой и соответствующей ей канонической системой заставляет нас предполагать, что если функция Гамильтона не зависит явно от t, то уравнение (6) в предположении, что H выражена в функции от р, q, должно давать интеграл канонической системы.
Полезно дать здесь доказательство этого предложения, потому что оно является прямым следствием одного общего тождества, которое само по себе будет необходимо в дальнейшем. Для того чтобы установить это тождество, заметим, что, какова бы ни была функция Н, составляя полную. производную этой функции по t, будем иметь
dH V і'дН * і ш • \ , дН
W- Zl Wh4nJ^~дї’ ft= 1
достаточно принять во внимание каноническую систему (5), чтобы убедиться, что для всякого ее решения тождественно имеем
dH _ дН dt — dt ‘
Если мы предположим теперь, что функция Гамильтона не зависи-. явно от t, то непосредственно найдем, что для канонической системы существует интеграл (6), который можно также называть обобщенным интегралом энергии.
Другой элементарный тип интеграла мы будем иметь в том случае, когда характеристическая функция H не будет зависеть от какой-нибудь из переменных q; действительно, если имеем dHjdqr = О, то из соответствующего уравнения (5) будет следовать, что существует интеграл
pr — const.
Интегралы этого типа можно называть интегралами обобщенных кинетических моментов или интегралами обобщенных количеств движения; отметим еще, что только это указанное обстоятельство совпадает с результатом, полученным в п. 45 гл. V для лагранжевых систем, когда имеются игнорируемые координаты. Действительно, если функция 2 (q | q \ t) лагранжевой системы не зависит от одной координаты qr, то от этой координаты не будут также зависеть обобщенные импульсы
= (А = 1, 2......я) (2)
И производные от обобщенных координат
ЯЬ*=ЧІР\Ч\Ь (А = 1 ? 2, ..., п), (2')
246
ГЛ, X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
получающиеся в результате решения уравнений (2) относительно q. Отсюда следует, что не будет зависеть от qr и характеристическая функция H (p\q\t) соответствующей канонической системы, которая получается после подстановки в выражение
I О
п=і
вместо величин q их выражений (2').
Обратно, если переменная qr не входит в характеристическую функцию H(p\q\ t) канонической системы, то она не войдет и в выражения
(А=1, 2,..я),
а следовательно, и в выражения
Ph = vh(q\q\ 0;
поэтому соответствующая лагранжева функция й(<7| q\t), получающаяся (п. 2) посредством подстановки только что указанных значений р в выражение
2 PhQh-н(р\я\0>
Й=1
также не будет зависеть от qr.
5. Явное выражение функции Гамильтона в динамическом, случае. Если функция Лагранжа Si составлена для решения задачи о движении голономной системы, находящейся под действием консервативных
сил, то, как известно (гл. V, п. 40),
2 = T+U, (8)
где
T = T2+ T1 + T0 (9)
