Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
В более общем случае можно поставить вопрос, какова должна быть функция L от р, q, представляющая собой каноническую переменную, которую надо присоединить к некоторой переменной I вида
I = nq,
где п уже не является более постоянной, а есть какая-нибудь наперед заданная функция от аргумента р. Имея в виду соотношение (IQw), мы тотчас же заключаем, что для этого достаточно взять какую-нибудь функцию от одного только р, удовлетворяющую условию
IdL=^q dp,
т. е. на основании заданного для I выражения
сIL= dp
п(р)ш
Если далее будет иметь место то обстоятельство (которое встретится нам в п. 68), что величины р и п выражаются посредством какого-нибудь параметра а, то определяющее L дифференциальное соотношение может быть написано в виде
dL = ^-~. (27)
da п (а) ' '
15. Уравнения вполне канонического преобразования в разрешенном виде. Скобки Лагранжа. Вернемся теперь к общим рассуждениям
262
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
п. 12, чтобы вывести из них в явной форме условия, при которых какое-нибудь преобразование
связывающее 2я переменных р, q со столькими же переменными тс, х, было бы вполне каноническим.
Возьмем снова для этой цели характеристическое условие полной каноничности
которое словами можно выразить так: для того чтобы преобразование (28) было каноническим, необходимо и достаточно, чтобы
зования (28), отличался от пфаффиана S Ph dQh только на полный
дифференциал от некоторой функции Q от тех же переменных р, q. Ho мы уже знаем, что полные дифференциалы характеризуются тем, что для них билинейный ковариант тождественно равен нулю. Таким образом, мы заключаем непосредственно, что для того, чтобы преобразование (28) было вполне каноническим, необходимо и достаточно, чтобы равенство между билинейными ковариантами пфаффиа-
обращалось в тождество, когда вместо дифференциалов Sitft, dr.h, dvh, Sxft подставляются выражения
Для того чтобы представить равенство (29) в явном виде, нужно ввести символ, известный под названием скобок Лагранжа, и отнести его к 2п функциям ®, ф, полагая их зависящими от каких-нибудь двух из 2я аргументов; эти два аргумента могут быть взяты ИЛИ Оба из р, или оба из q, или, наконец, один из р и другой из q.
H = ^i(Pk), Ч =ztWiPІЯ) (А=1, 2, я), (28)
П
п
(19')
fc=i
ь=і
П
п п
нов 2 PudQh и S Hd4
п
п
S i^Ph dQh — dPhbQh) = S (К dy'h — d~h^h) (29)
ft=і
ь=і
я
(30)
п
И Т. Д.
§ 2. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
263
Если обозначим их через и, v, то соответствующие скобки [и, v\ Лагранжа определятся равенством
откуда непосредственно ясно, что речь идет о таком символе, который в силу самого определения его обладает свойством
Введя этот символ, выполним указанную выше подстановку выражений (30) в равенство (29) и приравняем в обеих частях равенства коэффициенты при одинаковых произведениях независимых дифференциалов Ьр, dq, dp, bq. Этим способом мы получим эквивалентную тождеству (29) систему из и (2л—1) дифференциальных уравнений первого порядка относительно 2я функций ®, ф (в действительности число этих уравнений равно 2я (2я—1), но оно сводится к половине в силу альтернативного свойства скобок)
[Ph> ^fcI = 0. I0*1=0, \ph, qk] = bhk (h, A=I, 2, я), (31)
где, как обычно, Sftjt обозначает единицу или нуль, в зависимости от того, совпадают или не совпадают оба индекса h, k; равенства (31) и представляют собой требуемые явные условия для полной каноничности преобразования (28).
16. Геометрическая интерпретация условий полной каноничности. Рассмотрим функциональный определитель преобразования (28), который символически, очевидно, можно представить в виде
где і обозначает номер строки, h — номер столбца.
Выполним в этом определителе порядка 2я следующие операции: 1) перестановку каждой из п первых строк со строкою, занимающей то же место между остальными п строками; 2) перестановку каждого из п первых столбцов со столбцом, занимающим то же место между остальными п столбцами; 3) перемену знака у всех элементов первых п строк; 4) перемену знака у всех элементов первых п столбцов. Таким образом, мы получим определитель
П
1
[и, •У]+ [•», и] = 0.
дчц dafi
дРь дЯн
D* =
d<\>j _ d'bj dqn дРъ
д?і дчі
dqh dph
264
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Ho каждая из указанных операций от 1) до 4) (перестановка двух строк или двух столбцов, перемена знака у всех элементов одной строки или одного столбца) производит только перемену знака определителя. Все эти операции, вместе взятые, можно сгруппировать в пары операций одного типа, состоящие из одной операции над строками и другой — над столбцами, причем последующие перемены знаков определителя будут происходить в точности четное число раз. Поэтому имеем D* = D, и, следовательно, квадрат определителя D можно представить как произведение D на D*. Комбинируя столбцы со столбцами и принимая во внимание определение скобок Лагранжа, получим
D2=DD* =
[Pb.. <7ft]
14h> <?fc]
— fPb, Pk]
(A, ft= I, 2, ...,я). (32)
