Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
17. Двойная лестница (стремянка) находится в равновесии, опираясь четырьмя своими концами на горизонтальную плоскость. Распределение нагрузки предполагается каким угодно, но симметричным относительно вертикальной плоскости, проходящей через середины ступенек лестницы. В таком случае можно, складывая симметричные силы, свести систему сил к силам, действующим в вертикальной плоскости симметрии. Пусть AB1, AB2 — следы на этой плоскости двух частей лестницы, CiC2 — соединяющая их цепь, расположенная в плоскости симметрии. Силы, действующие на каждую из частей лестницы, можно привести к четырем, а именно, для части A JS1: вес P1; сила R1, приложенная в B1 (результирующая реакций двух опор); сила F, приложенная в А и представляющая собой реакцию другой части лестницы; горизонтальное натяжение цепи, действующее в точке C1; для AB2: вес р2, сила B2, приложенная в B2, две силы —F и —т, приложенные соответственно в А и C2. (Что сила, приложенная в А и происходящая от соединения с первой частью, есть —F, следует из принципа равенства действия и противодействия; убедиться в том, что сила, приложенная в C2, есть —і, можно, комбинируя принцип равенства действия и противодействия с тем уже не раз использованным обстоятельством, что, в первом приближении, сила передается неизменной с одного конца натянутой цепи на другой.)
Пренебрегая трением в опорах, определить усилие т, которому подвергается цепь.
Ответ: — Osj) P1 -f (а — а2)р2 j;
Pi> Pi имеют очевидное значение, 2а = B1B2, Ъ — высота точки А над цепью и О], O2 — расстояния центров тяжести G1, G2 двух частей лестницы от вертикали, проходящей через точку А.
18. Тяжелый однородный полушар опирается на наклонную шероховатую плоскость, касаясь ее своей сферической поверхностью. Равновесие может существовать (даже если оставить в стороне трение качения), лишь бы угол а наклона плоскости не превосходил угла трения и, кроме того 126
гл. xiii. статика. твердого тела
был таким, чтобы удовлетворялось неравенство sin а 3/8. На какой параллели должна находиться точка соприкосновения при равновесии1)?
19. Однородный стержень опирается на край (предполагаемый горизон тальным) и на точку внутренней поверхности чаши, имеющей форму полу сферы. Обе опоры рассматриваются как опоры без трения, благодаря чем реакция края чаши, действующая иа стержень (край чаши можно считать окружностью, а стержень — материальной прямой), должна быть нормальной к стержню.
Заметим прежде всего, что плоскость, определяемая стержнем и центром сферической поверхности, вертикальна и положение равновесия определится, если будет известен радиус г сферы и длина 21 стержня.
Проверить, что в предложенных условиях при равновесии должно удовлетворяться неравенство V2/3 и что наклон стержня а будет определяться посредством своего косинуса, являющегося положительным корнем уравнения
4г COS8 а — I COS а — 2r = 0.
20. Тяжелый однородный треугольник, со сторонами а, Ъ, с, опирается тремя своими вершинами на внутреннюю поверхность сферы радиуса г. Предполагается, что трение отсутствует.
Показать, что в положении равновесия центр тяжести треугольника должен находиться на вертикали, проходящей через центр сферы, и отстоять от иего на расстоянии, равном
V
г2 — -=-(a2-fb2-fc2).
21. Циркуль с одинаковыми геометрически н материально ножками (однако не необходимо однородный) опирается в раздвинутом виде на цилиндр с горизонтальной осью.
Определить угол раскрытия 2<р циркуля в состоянии равновесия (которое возможно даже при отсутствии трения); циркуль рассматривается как п два твердых стержня CA, СБ, соеди-
ненных шарниром в О и опирающихся на окружность нормального сечения цилиндра так, что прямая, соединяющая точку С с центром, вертикальна.
Предполагается, что известен радиус г цилиндра и расстояние а центра тяжести каждой из ножек от С.
Ж.
С'
ff
А'
T
в
Фиг. 44.
22. Потолок Серлио. Четыре стены имеют сечение в виде не слишком удлиненного прямоугольника (именно такого, чтобы удвоенная меньшая сторона превосходила большую). Можно построить покрытие из четырех равных балок, длина которых меньше опорного прямоугольника, но превосходит половину
меньшей из сторон большей стороны.
Устройство будет таким, как указано на фиг. 44. Валка AA' опирается на стену (представленную на схеме отрезком а) в точке А и на балку DD' в точке А' и служит опорой для балки BB'; балка BB' опирается на стену (представленную на схеме отрезком b) в точке В и на балку AA' в точке Bf и служит опорой для балки CC' в точке С', и т. д.
') Ср. BiscoHcini, соч., цит. на стр. 83 гл. I, стр. 275—277. упражнения
143
Обозначим длину каждой балки через I, длины отрезков AB', GD' через X (•< I) и длины отрезков ВС', DA' через [л « X), так что длины сторон опорного прямоугольника будут равны I -f- X, I + р.
Предположим, что балки нагружены (причем нагрузки на каждую балку могут быть и не равными друг другу), и обозначим момент относительно оси а1) нагрузки, действующей на балку AA', через Mb момент относительно оси Ъ нагрузки, действующей на балку BB, через M2, момент относительно оси с нагрузки, действующей на балку CG', через M3 и, наконец,, момент относительно оси d нагрузки, действующей иа балку DD', через M4r
