Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
23. Как и в случае точки, мы не всегда в состоянии количественно оценить устойчивость равновесия твердого тела, но в каждом данном случае можно придти к качественной оценке, определяя на основании критерия, указанного в п. 18 гл. IX, какое равновесие имеет место в этом случае: устойчивое, неустойчивое или безразличное. Применим этот критерий к двум особенно простым случаям.
а) Тяжелое твердое тело с закрепленной точкой. Если тело находится в равновесии, то результирующий момент активных сил относительно закрепленной точки О должен обращаться в нуль. Заметим теперь, что внутренние силы и реакция в точке О не совершают никакой работы при всяком перемещении тела, не нарушающем неподвижности точки О. Это очевидно для реакции, так как точка приложения ее не перемещается; что же касается внутренних сил, то они эквивалентны нулю (в смысле теории векторов), и, как мы докажем в гл. XV, эта эквивалентность нулю системы сил достаточна в случае твердых тел (однако, вообще говоря, не для каких угодно систем) для того, чтобы работа, совершаемая ими, равнялась нулю.
Здесь мы допустим это и заметим, что если для твердого тела, закрепленного в точке О, активные силы сводятся к весу, то в положении равновесия центр тяжести G должен находиться на вертикали, проходящей через закрепленную точку О. При этом необходимо различать три случая, в зависимости от того, совпадает ли G с О, находится ли G ниже или выше О (фиг. 37).
В первом случае при всяком перемещении твердого тела, совместимом со связями (т. е. при всяком перемещении, которое оставляет неподвижной закрепленную точку), центр тяжести G остается неподвижным, а, следовательно, работа веса равна нулю'). Речь идет поэтому о безразличном равновесии.
1J На самом деле, вес распределен между отдельными элементами тела и только эквивалентен одной силе (в смысле теории векторов), приложенной к центру тяжести. Но этого, как мы только что видели, и достаточно для того, чтобы можно было вычисление работы отнести к такой единственной силе. 126
гл. xiii. статика. твердого тела
С другой стороны, из активных сил такому же условию удовлетворяет вес, так как он пересекает прямую д, тогда как сила т всегда имеет относительно д момент (по абсолютному значению равный Rx), отличный от нуля. Таким образом, ввиду того что результирующий момент всех внешних сил относительно прямой д не равен нулю, мы приходим к заключению, что равновесие невозможно, как бы мала ни была сила т.
25. Для того чтобы устранить это противоречие между опытными данными и теоретическими выводами, основанными на предположениях „а" и „б", нужно отказаться по крайней мере от одного из них.
Мы уже не раз отмечали, что абсолютная недеформируемость твердых тел с физической точки зрения недопустима. Легко видеть, что, отказываясь от предположения „а" абсолютной твердости, можно сохранить предположение „б", не впадая в противоречия. В самом деле, допустив, что у цилиндра (или у пола, или у того и другого) возникает какая-то деформация, так что соприкосновение имеет место не только по одной прямой д, но по целой площадке (узкая полоска, содержащая прямую д), мы увидим, что момент реакций относительно прямой д уже не должен обязательно обращаться в нуль; основываясь на этом допущении, можно также очень хорошо объяснить (при помощи обычных законов трения скольжения), почему вес и достаточно малое натяжение т уравновешиваются.
Однако отказ от предположения об абсолютной твердости, которое, естественно, напрашивается при оценке данных опыта в первом приближении, вызвал бы полный и коренной пересмотр тех общих принципов статики твердого тела (вспомним, например, о доказательстве достаточности основных условий), которые позволили дать простое и отвечающее действительности изображение наиболее распространенных случаев равновесия твердых тел. С другой стороны, при теоретическом истолковании физических явлений, если иметь в виду приложения, важно охватить все признаки явления в целом, сохраняя, насколько возможно, более простые и более естественные схемы и избегая анализа тех частных признаков, которые не имеют непосредственного практического интереса.
Поэтому оказывается удобным оставить без изменения предположение „а" и изменить предположение „б", которое имеет целиком эмпирическое происхождение, допуская, что в каждой опоре, наряду с обычной силой, предусматриваемой законом Кулона, возникает пара с незначительным моментом, как ато должно было бы происходить в действительном случае, когда тело вместо одной геометрической точки P опиралось бы на малую площадку, окружающую Р. Тогда реакции, происходящие от точек площадки, § 6. понятие о трении качения
131
вообще говоря, сводились бы не к одной силе, приложенной в Р, а к силе и паре с малым моментом (при заданных малых размерах площадки). Для определения этой добавочной пары мы будем иметь в виду указанный выше случай цилиндра и будем искать, как, исходя из этого примера, получить более общий критерий, приложимый ко всем случаям начинающегося качения.
