Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
29. В случае цилиндра мы обнаружили, что плоскость опоры обладает свойством противодействовать внешним силам не только силами, приложенными в точках соприкосновения (обычные реакции трения скольжения), но также (в известных пределах) и парами. Это наводит на мысль, что аналогичные явления будут иметь место также и в случае однородного тяжелого шара, тоже опирающегося на горизонтальный пол.
Например, если к произвольной точке поверхности шара мы приложим горизонтальную силу, направленную как угодно, но достаточно малую, то равновесие будет еще * сохранено; то же самое будет происходить и Фиг. 39.
в более общем случае действия какой угодно силы F (фиг. 39), не превосходящей определенной величины. Это значит, что в точке опоры P возникает не только сила (реакция), но также и пара (реактивная) с моментом Г (реактивный момент), который может уравновесить момент относительно точки P (вообще говоря, отличный от нуля) внешней силы. Для определения момента Г удобно рассмотреть две его составляющие: тангенциальную Гт и нормальную Г„, соответственно называемые моментом трения качения (или трения второго рода) и моментом трения верчения (или трения третьего рода).
Для оправдания таких наименований достаточно обратить внимание на то, что происходит в частных случаях, в которых момент Г является чисто касательным или чисто нормальным.
Предположим сначала, что на шар действует только одна сила F, лежащая в вертикальной плоскости тс, которая проходит через точку опоры Р. Момент силы F относительно точки P перпендикулярен к плоскости тс и, следовательно, является чисто касательным к шару. При равновесии реактивный момент должен быть прямо противоположным моменту силы F и потому будет тоже ка-> сательным к шару. Как только величина силы превзойдет известный 126
гл. xiii. статика. твердого тела
предел, мы увидим, что шар начнет катиться, причем мгновенная ось вращения будет совпадать с касательной в точке P к шару, т. е. с линией действия реактивного момента. Таким образом, в рассматриваемом нами случае равновесия мы приходим в заключению, что реактивный момент препятствует качению шара в направлении, перпендикулярном к линии его действия; отсюда и происходит название момент трения качения.
Предположим теперь, что шар подвергается действию двух равных и противоположных сил, расположенных в одной и той же горизонтальной плоскости. Момент этой пары сил относительно точки опоры P будет вертикальным; поэтому вертикальным будет и реактивный момент, уравновешивающий момент активной пары. Увеличивая этот последний, мы увидим, что шар начнет вращаться вокруг вертикали, проходящей через точку P и представляющей собой линию действия реактивного момента. Это заставляет с полным основанием предположить, что в статических условиях этот момент препятствует телу вертеться, как если бы оно было зажато в подшипниках, расположенных вокруг нормали к плоскости опоры в точке соприкосновения. Поэтому реактивный момент, нормальный к плоскости опоры, и называется моментом трения верчения.
30. Как и в случае цилиндра, можно считать, что момент трения качения Г- пропорционален весу и множитель пропорциональности (имеющий размерность длины) не зависит в заметной степени от радиуса шара; то же самое относится и к моменту трения верчения Г„. Соответствующие множители пропорциональности, которые мы будем обозначать через A1 и A2, вообще говоря, различны между собой, а именно: Zi2 < A1. Например, для металлического шара с диаметром в 1 м, опирающегося на твердый пол, приближенно имеем A2 = 0,07 мм, тогда как A1 сохраняет тот порядок величины, который указан в п. 27 для качения цилиндра (A1 = 0,5 мм, т. е. приблизительно в семь раз больше, чем A2).
Заметим, наконец, что множитель A1 допускает истолкование, подобное тому, которое в случае цилиндра (п. 27) было дано для множителя А трения качения; т. е. A1 есть наибольшее плечо относительно точки Р, к концу которого, не нарушая равновесия, можно приложить добавочную вертикальную силу Р, равную весу шара. Аналогично A2 есть наибольшее плечо, которое можно дать, не нарушая равновесия, горизонтальной паре, состоящей из двух сил, равных по величине весу шара.
31. Изложенные до сих пор опытные результаты подсказывают выводы и обобщения, подобные тем, которые были признаны достоверными в случае трения скольжения. Мы будем предполагать следующее: § 6. понятие о трении качения
135
1. Если на шар помимо веса (или вместо веса) действуют, другие какие угодно сили, то остаются в силе те же самые законы, в предположении, что вместо веса подставлена величина нормального давления, производимого шаром на плоскость опоры, или (что одно и то же) величина N нормальной реакции со стороны плоскости.
При этом подразумевается, что давление направлено в сторону опоры (и, следовательно, реакция направлена наружу), так как иначе не возникнут ни сила трения, ни момент трения.
2. Если, в более общем случае, вместо шара, соприкасающегося с плоскостью, речь идет о каком угодно теле S, которое касается в какой-нибудь точке P материальной поверхности <з, то момент трения связан с нормальной реакцией N соотношениями того же самого вида, как и в случае шара и плоскости.
