Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 1" -> 50

Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.

Леви-чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 1 — Москва, 1952. — 326 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriticheskoyfiz1952.djvu
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 134 >> Следующая


гл. xiii. статика. твердого тела

тельных. Будем вообще обозначать через а те прямые, вокруг которых тело может опрокидываться. Что же касается вопроса о том, будет ли тело в действительности опрокидываться, если оно подвергается действию заданной системы активных сил, то здесь дело .будет обстоять так же, как и в случае твердого тела, имеющего закрепленную ось и опирающегося на плоскость (пп. 19—21). Поэтому, если представим себе все прямые а направленными в ту сторону, по отношению к которой опрокидывание, возможное для твердого тела, окажется правым, то для равновесия потребуется, чтобы результирующий момент активные сил относительно всякой отдельно взятой прямой а был отрицательным (или равным нулю). Вследствие этого в статических условиях будет законно назвать моментом устойчивости рассматриваемого состояния равновесия наименьшее абсолютное значение этих результирующих (отрицательных) моментов активных сил относительно различных прямых а.

В частности (если иметь в виду конкретные задачи, которые находят здесь свое схематическое представление), оказывается интересным случай 'тяжелого твердого тела S, которое опирается на горизонтальную плоскость так, что центр тяжести его проектируется внутрь опорного многоугольника или на его контур. При этом предполагается, что на центр тяжести, помимо собственного веса тела, действует горизонтальная сила, которая стремится опрокинуть тело.

Чтобы выразить точно условие равновесия, заметим, что если мы будем выбирать принятым ранее способом стороны обращения отдельных прямых а, то вес тела S, приложенный в центре тяжести, который, по предположению, проектируется внутрь или на контур опорного многоугольника, будет левовращающим по отношению ко всем этим ориентированным прямым (или, в исключительном случае, будет пересекать одну из них); поэтому относительно каждой из прямых а вес будет иметь отрицательный (или равный нулю) момент, в то время как момент горизонтальной силы может быть положительным или отрицательным (или равным нулю), в зависимости от рассматриваемой прямой. Если обозначим через —Ba и Ta моменты веса и горизонтальной силы относительно любой прямой а, то для равновесия твердого тела будет необходимо и достаточно, чтобы для всех отдельных прямых удовлетворялось условие

Jlfe = Te-PaCO. (70

Если сила действует в какой-нибудь проходящей через центр вертикальной плоскости, то предыдущее условие можно выразить словами так: линия действия равнодействующей веса и горизонтальной силы должна пересекать плоскость опоры в точке, внутренней (или, по крайней мере, не внешней) для опорного многоугольника. 126

гл. xiii. статика. твердого тела

Фиг. 37.

Во втором случае, как бы ни двигалось тело около точки О, центр тяжести G поднимается, так как должен оставаться на одном и том же расстоянии от О и, следовательно, двигаться по сфере, самой низкой точкой которой является его исходное положение, находящееся под точкой О на одной с ней вертикали. Отсюда следует, что при движении тела от любого положения до положения

равновесия вес совершает положительную работу. Равновесие поэтому оказывается устойчивым. Подобным же образом устанавливается, что в третьем случае мы имеем существенно неустойчивое равновесие.

б) Однородная полусфера на горизонтальной, абсолютно гладкой плоскости. Предположим, что однородная тяжелая полусфера с центром в О находится в равновесии, опираясь своим полюсом P на горизонтальную плоскость в некоторой произвольной точке Q этой плоскости (фиг. 88).

При этих условиях ось симметрии PO полусферы будет вертикальна, и так как вследствие однородности твердого тела центр тяжести G лежит на PO, то вес и реакция прямо противоположны друг другу. Любое перемещение полусферы, не нарушающее ее соприкосновения с плоскостью, можно получить, комбинируя перемещения двух следующих типов.

1. Заставить полусферу скользить по плоскости так, чтобы соприкосновение происходило постоянно в P и, следовательно,

ось PO оставалась вертикальной.

2. Оставляя неизменной точку прикосновения Q плоскости, наклонить ось PO полусферы, устанавливая соприкосновение с плоскостью в другой точке полусферы, отличной от Р.

Ясно, что на всех этих перемещениях реакция плоскости опоры (всегда нормальная к ней) совершает работу, равную нулю, так что достаточно обратиться к весам. Работа веса в первом случае равна нулю. Во втором случае в конце перемещения центр тяжести G будет находиться на некоторой высоте над плоскостью опоры, большей высоты GP, на которой он находился в состоянии равновесия. Действительно (см. фиг. 38, правую часть), проектируя G на вертикаль OQ в G', необходимо будем иметь OG'<.OG и, следовательно,

G'Q = OQ — OG' >OQ — OG,

Фиг. 38. § 5. устойчивость равновесия твердого тела

127

Из соотношения (7'), которое можно написать в виде

T < P

мы замечаем, что в случае равновесия для всякой прямой а, относительно которой момент горизонтальной силы Ta будет положительным, отношение PaITa будет больше или, по меньшей мере, равно единице; чем больше это отношение, тем лучше тело предохранено от опасности опрокидывания вокруг соответствующей прямой а. Поэтому в случае равновесия минимум положительных отношений PjTa называется коэффициентом устойчивости.
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 134 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed