Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Предположив для простоты, что пол и стена имеют одинаковые коэффициенты трения, легко понять, что лестница, наверное, останется в равновесии, если она образует с вертикалью угол а, меньший угла трения <?(f = tg ф). Действительно, в таком случае общая плоская область для обоих углов трения есть такой треугольник P2AB (фиг. 36), что верти-Фиг. 36. каль, проведенная через любую точку
отрезка P1P2, будет иметь с этим треугольником общий отрезок (или, по крайней мере, точку, если речь идет о вертикали точки P2).
Если, далее, угол а лестницы с вертикалью больше угла ф (см. фиг. 35), то точка из общей области двух углов трения, наиболее близкая к стене, будет точкой пересечения С верхней стороны угла треиия о стену с левой стороной угла трения о пол, так что для равновесия необходимо и достаточно, чтобы вертикаль, проходящая через центр тяжести, не лежала между точкой С и стеной. Если теперь примем в качестве положительных полуоси Ох, Oy и обозначим через I и т длину и массу лестницы и через т\ и X1 массу и абсциссу человека, то будем иметь прежде всего
OP1 = I sin a, OP2 = I cos а,
и для абсциссы центра тяжести системы, состоящей из лестницы и человека, получим выражение
ml sin а -)- Wi1X1
а
W + wI ' § 5. устойчивость равновесия твердого тела
123
тогда как точка С, как пересечение прямых P2 В, P1D, определяемых соответственно уравнениями
X — г sin а
у — / cos а = fx, у:
f
будет иметь абсциссой
, Sin а — f COS I7 . / ,
' -1-І-f2- = ' C0S V Sln (а — ?)•
Поэтому условие равновесия выражается соотношением
^r ml sin a -f- OtjX1
-^l COS f sin (а — <р).
т -(- Wi1
Если мы хотим, чтобы равновесие существовало, каково бы нн было положение человека на лестнице, то необходимо, чтобы предыдущее соотношение удовлетворялось птж X1 = 0; тогда оно будет удовлетворяться и для всякого другого значения (положительного) X1. Таким образом, должно удовлетворяться соотношение
W sin Я ^ . , ч
• COS f SW (а — Cp).
2 (т + W1)
Разделив обе части его на Va cos а и выделив член sin 2<р, найдем
{ 2 cos2 <р--^— Wg а < sin 2<р.
I т т-^m1 J0 ^ т
Коэффициент при tg а несомненно положителен, поскольку при ф < it/4 имеем неравенство 2cos2<p>l, тогда как вычитаемое т/(т -}- To1) меньше единицы.
Поэтому обе части неравенства можно разделить на коэффициент при tg а, решая его относительно tga, а это дает для а искомое неравенство
, ^ sin 2®
tg а <-ї-.
по т
2 COS3 Cf--;--
1 т -+- Jra1
§ 5. Устойчивость равновесия твердого тела
19. Чтобы показать, как в некоторых случаях можно опенить количественно устойчивость равновесия твердого тела, рассмотрим задачу, в которой встречаются одновременно связи обоих видов, изученные в предыдущих параграфах, т. е. тело имеет закрепленные точки и точки опоры. Именно, рассмотрим твердое тело 8, имеющее закрепленную ось а. и одну или больше опор на плоскости it, проходящей через ось, и для определенности предположим, что плоскость it (а следовательно, и ось а) горизонтальна и что твердое тело опирается на верхнюю сторону плоскости it, как это 124
гл. xiii. статика. твёрдого тела
имеет место, например, у крышки на шарнирах, когда она опирается на стенки соответствующего ящика. Наконец, представим себе, что ось а направлена в ту сторону, относительно которой вращение тела 8, допускаемое плоскостью опоры, оказывается правым.
Заметим, далее, что если бы опора отсутствовала и, следовательно, речь шла просто о твердом теле с закрепленной осью, то необходимое и достаточное условие равновесия заключалось бы в равенстве нулю результирующего момента активных сил относительно оси (п. 8). Мы можем свести задачу как раз к этому случаю, рассматривая временно в качестве активных сил реакции Ф, происходящие от опор. Таким образом, обозначая через Ma и Ma результирующие моменты относительно оси а активных сил и соответственно реакций опоры Ф, заключаем, что необходимое и достаточное условие для равновесия нашего твердого тела имеет вид
Ma +М'а = 0. (6)
Реакции опоры Ф являются неизвестными; следовательно, неизвестен и их результирующий момент Ma- Независимо от того, имеется или нет трение в опорах, известно, что всякая отдельная реакция Ф, не равная нулю, направлена в ту сторону от плоскости тс, в которую тело 8 может вращаться, или, другими словами, всякая реакция стремится сообщить телу правое вращение относительно направленной оси а, так что несомненно будем иметь
м'а> О;
отсюда и из уравнения (6) следует, что для равновесия тела 8 необходимо, чтобы активные силы удовлетворяли условию
Ma^ 0. (7)
20. Докажем, что условие (7) оказывается также и достаточным для обеспечения равновесия. Для этой цели достаточно убедиться, что всякий раз как удовлетворяется неравенство (7), возможно определить каким-либо образом реакции Ф отдельных опор так, чтобы удовлетворить условию (6), достаточному для равновесия, а также, конечно, общим требованиям статики опертых твердых тел (п. 12).
Начиная со случая, когда вне оси а имеется только одна точка опоры P и опора абсолютно гладкая, легко увидим, что при выполнении условия (7) единственная реакция Ф, способная обеспечить равновесие, будет однозначно определена. Действительно, реакция Ф, как перпендикулярная к плоскости тс и правая относительно направленной оси а, имеет по отношению к ней момент КФ, если через h обозначим расстояние*точки P от оси; достаточно § 5. устойчивость равновесия твёрдого тела
