Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Однако ясцо, что в этом случае (т. е. в случае числа точек опоры, большего трех) распределение реакций не может быть определено на основании чисто статических условий равновесия неде-формируемых тел, и эта неопределенность будет тем большей, чем больше имеется точек опоры. Здесь, как и в случае твердого тела, имеющего больше двух закрепленных точек, лежащих на одной прямой (п. 9), для устранения неопределенности необходимо обратиться к новым данным опыта, дополняющим данные, полученные из предельных предположений совершенной твердости (см. по этому поводу упражнение 26, стр. 145).
17. Состояние равновесия, зависящее исключительно от трения в опорах. Покажем теперь на примере, что иногда, как мы уже отмечали в п. 1В, равновесие опертого твердого тела обеспечивается исключительно трением в опорах, так что физически оказываются возможными условия равновесия, которые исключались бы при идеальном предположении об отсутствии трения.
Рассмотрим лестницу, опирающуюся на пол наклонно к нему и на вертикальную стену. Число опор, соответствующих концам двух стоек лест-t ницы, равно четырем; но вследствие геометри-' ческой и материальной симметрии фигуры отно-X снтельно вертикальной плоскости, равноотстоящей от стоек, мы можем рассматривать задачу схематически, представляя себе лестницу в виде твердого тяжелого стержня, расположенного в вертикальной плоскости и опирающегося в двух точках P1 и P2 соответственно на горизонтальную прямую Ox и на вертикальную прямую Oy (фиг. 34). Допустим, что на какую-то ступеньку лестницы поднялся человек. Веса лестницы и человека эквивалентны их результирующей р, которую можно представить себе приложенной в центре тяжести системы, состоящей из лестницы и человека, или перенесенной вдоль линии ее действия в точку Р, в которой вертикаль, проходящая через центр тяжести, пересекает P1P2 (п. 2). Точка Р, очевидно, будет лежать внутри отрезка P1P2.
Для равновесия необходимо и достаточно, чтобы сила р и обе реакции Фх и Ф2, приложенные в точках P1 и Pa, составляли § 4. РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ, ОПИРАЮЩИХСЯ НА ДРУГИЕ ТЕЛА
121
уравновешенную систему или же (гл. I, п. 51) чтобы линии действия трех сил пересекались в одной точке (так как возможность параллельности здесь исключается) и чтобы, кроме того, результирующая реакций <&! и Фа была прямо противоположна полному весу р.
Если мы допустим теперь, что опоры в точках P1 и P2 абсолютно гладкие, то обе реакции Фх и Фа будут направлены по перпендикулярам в плоскости фигуры соответственно к Ox, Otj, пересекающимся в точке Q, через которую не может пройти линия действия полного веса, параллельная прямой QP1 и пересекающая отрезок P1P2 во внутренней точке Р; поэтому предположение об отсутствии трения приводит к парадоксальному заключению, что лестница, опирающаяся на пол и на стену, не может оставаться в равновесии. Аналогично мы увидим, что только одно трение о стену не было бы достаточным для обеспечения равновесия.
Парадокс объясняется тем обстоятельством, что как раз трение об опоры и делает возможными те состояния равновесия, которые мы наблюдаем на каждом шагу. Для того чтобы сформулировать соответствующие условия равновесия, обратим внимание на трение в точках P1, Pa и рассмотрим внешние полости конусов трения,
каждая из которых будет пересекаться плоскостью фигуры по двум образующим, симметрично расположенным относительно соответствующей нормали. В этой плоскости получаются таким образом два угла трения, которые определят некоторый четырехугольник ABCD (фиг. 35) (или треугольник, если лестница составляет с вертикалью угол, меньший угла трения о пол, или с горизонталью угол, меньший угла трения о стену). Условие, необходимое и достаточное для равновесия, заключается в том, чтобы полный вес мог быть уравновешен двумя реакциями, пересекающимися в одной из точек его линии действия (вертикаль через центр тяжести) и лежащими внутри соответствующих углов трения, или, другими словами, условие, необходимое и достаточное для равновесия лестницы, состоит в том, чтобы вертикаль, проходящая через центр тяжести, имела, по крайней мере, одну общую точку с четырехугольником (или с треугольником), общим для обоих углов трения.
Если в случае четырехугольника эта вертикаль проходит через вершину С, более близкую к оси у, то обе реакции будут определены однозначно, поскольку они должны иметь линиями действия 122
гл. xiii. статика. твёрдого тела
P1C и P2C, и их результирующая должна быть прямо противоположной полному весу.
Во всех других случаях равновесия вертикаль, проходящая через центр тяжести, имеет с четырехугольником (или с треугольником) общим целый отрезок, на котором точку пересечения линий действия двух реакций можно выбрать произвольно; поэтому последние не могут быть определены однозначно (ср. предыдущий пункт).
18. На практике интересно знать, при каких условиях можно подняться до самой вершины лестницы, не опасаясь скольжения,
или, иначе, при каком наибольшем наклоне лестница остается в равновесии при любом положении на ней человека.
