Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
6. Твердое тело о закрепленной осью. Предположим, что неподвижность оси обеспечивается специальными приспособлениями, которые закрепляют две или большее число её точек; закрепленных точек может быть и бесконечно большое число; они составляют тогда один или несколько отрезков. Физическими моделями твердого тела с закрепленной осью могут служить: крышка ящика, имеющая два шарнира (петли), мельничное колесо, маховое колесо. Дверь или створку окна нельзя, вообще говоря, рассматривать как твердое тело с закрепленной осью; ось в этом случае может скользить вдоль самой себя (в определенную сторону), так как двери или створки окон в большинстве случаев устраиваются так, чтобы их можно было снимать с петель, поднимая в направлении оси.
Пусть 8—твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси а, неизменно связанной с телом. Обозначим через F действующие на тело внешние активные силы. Реакции связей Ф приложены в точках оси а и потому их моменты относительно этой оси равны нулю. Для равновесия необходимо, чтобы обращался в нуль результирующий момент всех внешних сил относительно какой угодно точки, а потому и относительно какой угодно прямой и, в частности, относительно этой оси; поэтому, обозначая ІІ2
гл. хш. статика. твёрдого тёла
через Ma результирующий момент сил F относительно оси а, заключаем, что необходимое условие для равновесия имеет вид
Mn = 0.
(4)
7. Только что полученный результат молено обратить, т. е. можно доказать, что условие (4) является также и достаточным для равновесия. Но для этой цели необходимо сделать некоторые предварительные замечания о векторах.
Если векторы системы S все прилолгены в точках некоторой прямой а, то момент каждого из них относительно этой прямой равен нулю, а потому будет равен нулю таклее и результирующий момент Ma системы S относительно этой прямой. Другими словами, если за центр приведения берется произвольная точка О на прямой а, то результирующий момент M системы 2 относительно О будет перпендикулярен к а.
Здесь важно обратить внимание на то, что это является единственной особенностью систем векторов, приложенных в точках какой-нибудь прямой, т. е. если, задав прямую а, мы возьмем два произвольных вектора 22 и Ж (фиг. 31) при единственном условии, что второй должен быть перпендикулярен к а, то найдется бесконечно большое число (эквивалентных между собой) систем векторов, приложенных в точках прямой а, имеющих при произвольном центре приведения О на прямой а результирующим вектором 22 и результирующим моментом Ж.
Начнем с доказательства того, что существует бесконечно много таких систем, состоящих только из двух векторов, приложенных соответственно в точке О и в другой точке О', выбранной произвольно на заданной прямой а. Проведем через точку О плоскость я, перпендикулярную к вектору Ж и поэтому содержащую прямую а, которая предполагается перпендикулярной к этому вектору, и рассмотрим в плоскости я два вектора — v' и г/, однозначно опреде-» ляющиеся тем, что они должны быть приложены соответственно в точках О и О' в направлении, перпендикулярном к а, и составлять пару с моментом Ж (гл. I, п. 47). Система, составленная из векторов 22 и —г/, приложенных в О, и из вектора г/, приложенного в О', имеет, очевидно, относительно О результирующий вектор 22 и результирующий момент Ж; таким образом, если положим V = H — г»', то система векторов v и v', приложенных соответственно в точках О и О', удовлетворяет поставленным условиям.
Фиг. 31. § 3. равновесие несвободных твердых тел
113
Наиболее общая система, состоящая только из двух векторов, приложенных в точках О и О' и имеющая относительно О результирующий вектор M и результирующий момент Ж, получится путем присоединения к V и v' двух взаимно уравновешивающихся векторов, приложенных в О и О', т. е. (гл. I, п. 89) двух прямо противоположных векторов w и —w', имеющих линией действия прямую а. Изменяя величину w этих двух добавочных векторов, мы и получим бесконечно большое число систем из двух векторов, удовлетворяющих поставленному условию; очевидно, что произвол выбора значений величины w по существу соответствует возможности произвольного выбора направления на плоскости те двух векторов, составляющих пару с моментом Ж.
Ясно, что мы будем иметь еще более значительный произвол, если отбросим условие, что система должна состоять только из двух векторов, так как тогда к системе из двух векторов v и v' можно будет присоединить сколько угодно векторов, приложенных в точках прямой и составляющих уравновешенную систему.
8. После этих предварительных замечаний обратимся опять к твердому телу S с закрепленной осью а и покажем, что обращение в нуль результирующего момента Ma прямо приложенных сил JP относительно оси а является достаточным условием для равновесия: для этой цели воспользуемся рассуждением, аналогичным рассуждению п. 5.
Если примем условие (4), то, как это следует из предыдущего пункта, существует бесконечно много систем S векторов, эквивалентных системе активных сил F и приложенных к тем точкам прямой а, которые, по предположению, являются закрепленными. То же самое можно сказать и о реакциях, возникающих в этих точках. Под действием такой системы сил (активных сил и реакций, эквивалентных, если не тождественных тем, которые имеются в действительности) тело останется, очевидно, в равновесии (вспомним о том, что было сказано в п. 5 относительно реакции, возникающей в закрепленной точке, и о системе внутренних сил). Оно останется поэтому в равновесии также и под действием данных приложенных сил F.
