Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Однако вместе с большой общностью основные уравнения имеют тот недостаток, что они, вообще говоря, необходимы, но не достаточны для равновесия системы. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим наиболее простой возможный случаи, когда мы имеем две свободные материальные точка P1 и P2, которые находятся под
UO § 2. необходимые условия равновесия
105
действием двух равных и прямо противоположных (притягивающих или отталкивающих) сил F и — F, действующих по соединяющей эти точки прямой (фиг. 30). Система этих двух с»л удовлетворяет, очевидно, основным условиям равновесия, и тем не менее эти две точки не будут, конечно, в равновесии, так как действующая на каждую из них сила (результирующая) не равна нулю.
Поэтому основные уравнения равновесия позволяют лишь утвер-ждать, что данная материальная система 8, на которую действуют известные внешние силы, мооюет находиться в равновесии, но они не достаточны, вообще говоря, для того, чтобы она действительно находилась в равновесии. Решение задачи о равновесии данной jjt-j, -?-^
системы 8 на основе общих урав- ' 2
нений равновесия начинают с приведения известными из теории век- P1 F -F P2 торов (гл. I, § 6) способами системы приложенных векторов F к не- Фиг. 30. которой более простой системе и
убеждаются, равны ли нулю результирующий вектор и результирующий момент (по отношению к некоторому центру). Если это не выполняется, то мы можем быть уверены, что система 8 не находится в равновесии; если же результирующий вектор и результирующий момент равны нулю, то равновесие возможно, и для того, чтобы убедиться, что оно действительно существует, необходимо в общем случае дальнейшее прямое исследование задачи.
Заметим, что в случае системы 8, находящейся под действием сил тяжести, совокупность весов отдельных точек системы векторно эквивалентна их результирующей (полный вес 8), приложенной в центре тяжести системы.
Для избежания недоразумений следует заметить, что рассмотрение системы сил, векторно эквивалентной данной системе внешних сил F, имеет чисто теоретическое значение, связанное с возможностью приложения основных уравнений, но, вообще говоря, было бы ошибочным рассматривать эквивалентные системы сил как одинаковые по отношению к их механическим действиям.
В главе XIII мы встретимся с одним важным классом материальных систем, для которых векторная эквивалентность систем внешних сил переходит в механическую эквивалентность.
6. Примеры. В качестве первого простейшего приложения основных уравнений рассмотрим тяжелую цепь, подвешенную за концы к двум крюкам А и В и находящуюся в равновесии. Здесь внешними силами будут: 1) реакции Fa и Fb двух крюков; 2) веса отдельных звеньев, вместо которых, так как речь идет о приложении основных уравнений, мы можем подставить полный вес р lo? гл. xii. принцип равенства действия и противодействия
цепи, действующий по вертикали, проходящей через ее центр тяжести G.
На основании уравнений (1) необходимое условие равновесия заключается в том, чтобы три вектора Fa, Fb, р составляли уравновешенную систему, для чего требуется (гл. I, п. 51), чтобы эти три вектора были компланарны, чтобы линии действия сил Fa и Fb пересекались в точке на линии действия силы р, т. е. на вертикали, проходящей через центр тяжести Cr, и чтобы, наконец, результирующая сил Fa и Fb была равна и прямо противоположна р.
Отсюда следует, в частности, что когда кусок цепи AB, подвешенный за концы, находится в равновесии под действием силы тяжести, центр тяжести должен лежать в вертикальной плоскости, проходящей через обе точки подвеса.
В качестве второго примера рассмотрим действие, оказываемое тяжелым телом, находящимся в равновесии, например живым существом 8, на пол или на какую-либо другую опору, которая его поддерживает. Внешними силами, приложенными к 8, в этом случае будут: вес, эквивалентный одной силе р, приложенной в центре тяжести G, и реакции, которые тело 8 испытывает в точках опоры. Эти реакции и вектор р, приложенный в G, составляют, на основании п. 4, уравновешенную систему. С другой стороны, на основании принципа равенства действия и противодействия силы, с которыми 8 действует на опору, равны и противоположны реакциям. Таким образом, мы приходим к заключению, что тело 8 производит на опору давления, (векторно) эквивалентные собственному весу. Этот результат очевиден, однако полезно получить его, исходя из постулатов, на которые можно опереться с абсолютной уверенностью. Между прочим, отсюда следует, что как бы ни старалось живое существо 8 уменьшить или увеличить давление на опору, равное его весу, применяя только внутренние силы, например мускульные усилия, ему не удастся это сделать, пока оно находится в покое. Глава XlII
СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 1. Характеристический постулат, относящийся к твердым телам, и его следствия
1. Основные уравнения, которые в случае материальной системы произвольного вида являются, как мы видели (гл. XII, п. 4), только необходимыми условиями равновесия, в случае твердого тела оказываются также и достаточными. Для того чтобы установить этот важный результат, мы должны прежде всего определить, что в механике называют твердым телом.
