Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
A^ufJh-T , \,
где (л., как обычно, обозначает плотность.
10. Применить формулу предыдущего упражнения к случаю усеченного конуса, сферического сегмента и сегмента параболоида вращения. Показать, в частности, что:
1) для конуса притяжение в вершине равно
2nf\j.h (1 — cos y), где y — половина угла при вершине конуса; 100
гл. xi. краткие сведения о ньютоновом притяжений
2) для сферического сегмента будем иметь в полюем
^2^(1-4/?).
где R— радиус сферы, которой принадлежит сегмент;
3) для сегмента параболоида вращения будем иметь в полюсе
А = 2.* { Л - YW+Wh + P in ±J@±M } ,
где р — параметр меридианной параболы (аР = 2рз).
11. Рассмотреть однородную (твердую) полусферу и точку P ее экватора. Притяжение полусферой точки P лежит вследствие симметрии в (диаметральной) плоскости, проходящей через Р, центр О п полюс В полусферы. Определить значение составляющей no PO п по нормали к экваториальной плоскости.
[Проинтегрировать соответствующие составляющие элементарных притяжений, пользуясь полярными координатами с полюсом в Р. Соответственно найдем ^1', і (J- ii, где через r обозначен радиус полусферы о о
и через [а — ее плотность. См. Tarleton, цит. место в упражнении 4, стр. 16.]
12. Тело максимального притяжения. Найти форму, которую должно иметь однородное тело вращения данного объема, для того чтобы оно вызывало наибольшее притяжение в полюсе, т. е. в точке, в которой поверхность тела встречается с осью вращения. См. Tisserand, цпт. место в упражнении 8, стр. 77—79. Глава XII
ПРИНЦИП РАВЕНСТВА ДЕЙСТВИЯ И ПРОТИВОДЕЙСТВИЯ. УСЛОВИЯ, НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ РАВНОВЕСИЯ ТЕЛА
§ 1. Принцип равенства действия и противодействия
1. В постулатах механики, введенных в гл. VII п объединенных в основном уравнении динамики, рассматриваются только силы, приложенные к одной и той же материальной точке. Так как теперь мы приступаем к изучению механики тел, каждое из которых должно рассматриваться как совокупность материальных точек, то нам придется рассматривать системы сил, приложенных к различным материальным точкам, о взаимодействии которых упомянутые постулаты ничего не говорят. Поэтому необходимо опять обратиться к данным опыта, чтобы на основании их установить некоторый новый принцип.
Рассматривая две материальные точки P и Q, предположим, что при некоторых определенных обстоятельствах можно установить, что на одну из этих точек, например на точку Р, действует сила F, источником которой является другая точка Q, понимая под этим то, что сила F будет отсутствовать, как только будет устранена точка Q, а все остальное, насколько это возможно, останется неизменным. Чтобы привести наиболее наглядный пример, укажем на действия, производимые друг на друга материальными элементами PkQ двух тел при их соприкосновении: эти действия прекращаются всякий раз, как прекращается соприкосновение. Представим себе, например, ножку Q стола, которая давит па точку P пола, или конец Q веревки, привязанной к крюку Р. Давление на пол или сила, действующая на крюк, представляют собой, очевидно, действия другого тела Q (ножки стола или веревки) .
Во всех таких случаях опыт учит, что действие, производимое точкой Q на Р, вызывает прямо противоположную силу—реакцию со стороны точки P на Q: так, в только что указанных примерах ножка стола испытывает сопротивление, равное давлению, которое она производит на опору. Конец веревки, прикрепленной к крюку, испытывает действие растягивающей силы, противоположной силе, с которой веревка действует на крюк. В более общем случае несвободной материальной точки реакции, которую она испытывает со стороны связи, всегда соответствует прямо противоположная сила, испытываемая самой связью; эта последняя сила, представляющая собой давление точки на связь, всегда должна быть по 102
гл. xii. принцип равенства действия и противодействия
величине меньше некоторого определенного предела, чтобы связь могла выдержать ее действие.
Эти наблюдения разъясняют на простых случаях содержание следующего постулата, впервые высказанного Ньютоном и обычно называемого принципом равенства действия и противодействия.
Всякий раз, когда материальная точка P вследствие наличия, другой материальной точки Q подвергается действию некоторой силы F, существует как в условиях покоя, так и в условиях движения равная и прямо противоположная ей сила — F (реакция), действующая со стороны P на Q.
Отметим, что когда речь идет о силах, действующих между материальными точками PkQ, которые не находятся в непосредственном соприкосновении, только что сформулированный принцип требует, чтобы эти силы имели в качестве общей линии действия прямую, соединяющую обе эти точки, так как обе силы взаимодействия между точками должны быть прямо противоположны и приложены соответственно в P и Q.
§ 2. Необходимые условия равновесия, общие для всех материальных систем
2. Внешние и внутренние силы. Пусть S есть какая угодно материальная система, т. е. система, состоящая из одного или нескольких тел (твердых, жидких или газообразных). Мы будем рассматривать ее как совокупность материальных точек и предполагать, что она находится под действием системы сил, в которую входят также и реакции. Эти реакции представляют собой действия связей, которые ограничивают свободу перемещения отдельных материальных точек системы.
