Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
В действительности все материальные тела, когда на них действуют достаточно большие сжимающие или растягивающие силы, деформируются. Тела, которые в обыденной жизни называются твердыми, обладают особенно большой сопротивляемостью деформациям, так что даже при действии довольно значительных давлений или растяжений они не обнаруживают заметных изменений формы.
Идеализируя это свойство, твердым телом в механике называют всякую материальную систему, которая при каких угодно действующих на нее силах и в каких угодно условиях движения (или покоя) ведет себя как абсолютно твердое тело в смысле, данном этому названию в кинематике, т. е. всякую систему материальных точек с такими связями, что расстояния между любыми точками системы не изменяются, каковы бы ни были силы, действующие на систему, и каково бы ни было состояние движения (или покоя) системы.
Для дальнейшего уточнения поведения твердых тел по отношению к действующим на них внешним силам мы обратимся к физическому опыту. Если возьмем какое-нибудь твердое (в обычном смысле) тело, которое уже находится в равновесии под действием заданных внешних сил, и присоединим к этим силам две равные и прямо противоположные силы F и —F, приложенные в каких угодно точках PeQ твердого тела, то не только убедимся в том, что расстояние между точками PhQ останется неизменным (если пренебречь незначительными деформациями), но и увидим, что вся система останется в равновесии. Таким образом, оказывается возможным принять следующий принцип (характеристический постулат твердых тел, который следует считать практически имеющим силу в тех пределах приближения, в которых естественные твердые тела можно рассматривать как абсолютно твердые): 108
гл. xiii. статика. твёрдого тела
Равновесие твердого тела не нарушится, если к двум каким угодно его точкам приложить две равные и прямо противоположные силы.
2. Мы уже знаем (гл. XII, п. 4), что если какая угодно материальная система 8 (т. е. также и нетвердое тело) находится в равновесии под действием заданной системы сил и вместо связей, существующих между точками 8, введены соответствующие реакции, то систему можно рассматривать как состоящую из свободных материальных точек, каждая из которых находится в равновесии под действием приложенных к ней активных, сил и реакций связей. Поэтому, в силу необходимых и достаточных условий равновесия точки (гл. YII, п. 11), равновесие системы 8 не нарушится, если вместо двух или большего числа сил, действующих на одну и ту же точку системы, будет приложена соответствующая результирующая или, наоборот, сила, действующая на точку системы 8, будет разложена на несколько сил, приложенных к той же самой точке.
Мы видим, таким образом, что в какой угодно материальной системе всегда можно, не нарушая равновесия, выполнить над приложенными к отдельным точкам силами первую из векторных операций, которые в п. 40 гл. I мы назвали элементарными.
С другой стороны, в случае твердого тела характеристический постулат предыдущего пункта утверждает, что над силами, приложенными к телу, молено, не нарушая равновесия тела, выполнить также и вторую элементарную операцию.
Так как, комбинируя обе элементарные операции, мы можем (гл. I, п. 14) перейти от одной заданной системы приложенных векторов ко всякой другой эквивалентной ей системе, т. е. к системе, имеющей те же самые результирующий вектор и результирующий момент (по отношению к какому угодно центру приведения), то мы заключаем, что равновесие твердого тела не нарушится, если систему действующих на него сил заменить какой угодно другой системой сил, (векторно) эквивалентной первоначальной.
§ 2. Необходимые и достаточные условия равновесия твердого тела
3. Предыдущая теорема позволяет доказать, что в случае твердых тел основные условия равновесия не только необходимы, как это имеет место для всякой материальной системы, но и достаточны.
Предположим, что твердое тело 8 находится под действием известных внешних сил JF, удовлетворяющих основным условиям
JS = O, Jf = O, (1)
т. е. составляющих систему, эквивалентную нулю. § 3. равновесие несвободных твердых тел
109
Если обозначим через / внутренние силы, то твердое тело S можно рассматривать как систему свободных материальных точек, находящуюся под действием сил -F и /. Так как и система сил F (по предположению) и система сил / (в силу их свойства как внутренних сил, п. 3 предыдущей главы) (векторно) эквивалентны нулю, то система, составленная из сил F и /, будет, в частности, эквивалентна системе сил, из которых каждая равна нулю. Но если бы каждая точка тела 8 подвергалась действию силы, равной нулю (т. е. была бы свободна от действия каких бы то ни было сил), то система находилась бы, очевидно, в равновесии. Поэтому на основании теоремы предыдущего пункта она будет находиться также в равновесии под действием сил F и /, эквивалентных системе, состоящей только из сил, в отдельности равных нулю.
Поэтому заключаем, что для твердых тел необходимые и достаточные условия равновесия выражаются двумя векторными уравнениями (1) или шестью эквивалентными им скалярными уравнениями:
