Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
і 82(3 Cos2O — і) = І82 (2 — 3 sin2 6).
Так как 82sin29 есть квадрат расстояния точки Q от оси OP, то, обозначив через I момент инерции притягивающего тела относительно OP и через
M = J ц82 dS
S 92
гл. xi. краткие сведения о ньютоновом притяжений
его полярный момент (гл. X, п. 14) относительно О, получим из равенства (21)
Ef0 = -C
P8
Здесь следует отметить, что, в то время как M есть постоянная характеристика притягивающего тела, I зависит, кроме того, от направления OP, являясь (гл. X, п. 22) квадратичной функцией от направляющих косинусов xjp, yjp, z/p.
Предположив для простоты, что оси X, у, Z являются главными осями инерции относительно начала О, мы приведем выражение I (гл. X, п. 24) к виду
I = ± {Ах*+ By*+Cz*),
где, как обычно, А, В, О представляют собой главные моменты инерции.
Внесем это выражение I в равенство (21') и примем во внимание соотношение
І? = |н-82^= jKS2 + ^ + C2)d?=yU + ?+C).
s
Введя вместо А, В, С главные радиусы инерции S1, S2, Ss и положив
^ = -28* + 8* + 8g,
S= ^ — 281+ 8», (23)
Cg== 8*+ 8*-28*
(вследствие чего C1 + Ci + Ca = 0), после очевидных приведений получим
= + + (21")
31. Таким образом, потенциал U притяжения каким-нибудь телом удаленной точки, по крайней мере до членов третьего порядка (по отношению к Д/р), на основании равенств (20), (20') и (21') может быть приведен к виду
U = + — —+ -^y [ M — -§-1}, P 1 P P 1 P3 I 2 )
где р означает расстояние от P до какой угодно точки О притягивающего тела, q0 есть проекция на направление OP радиуса-вектора, проходящего через центр тяжести, M — полярный момент тела относительно О, I—его момент инерции относительно оси OP. § s. приложения
93
Если совместим точку О с центром тяжести, то <7о будет равно нулю и в формуле не будет поправки первого порядка. Останется поправка второго порядка
которая относительно главных осей инерции принимает вид (21").
В конечном счете, при подходящем выборе осей и пренебрегая членами третьего порядка, мы придем к выражению
u-= Tl {1 + ^r (сіж2+W2 + сз*2)} >
где C1, с2, с3 означают постоянные [определяемые равенством (23) в функциях от главных радиусов инерции].
82. Поправки силы притяжения. Из найденной поправки для потенциала путем дифференцирования можно получить поправки для силы притяжения. Остается только устранить сомнение, заключающееся в том, что отброшенные в выражении потенциала члены третьего порядка (по отношению к Д/р) после дифференцирования могут дать поправки второго, а может быть и первого порядка. Чтобы выяснить это обстоятельство, мы можем поступить так, как указано ниже.
Положив для краткости
8 = ~р~' 1 — cos 9, (24)
так что є будет членом первого порядка и |f |<1, очевидно, получим
1 ==^=1 {1 + .8-г«?}"''1.
г у Pi + ^ — 2pS cos 9 P
Тождество 1 —f- е2 — 2sf —(1—S^)2+ (1 — f2) s2 показывает, что при I if |<[ 1 и при I а I < L (условие, удовлетворяющееся в нашем случае с избытком ввиду малости s) левая часть его не может обратиться в нуль.
Отсюда следует, что выражение
ср(е, т) = (1 +®2 — 2sf)~'/2 (25)
при указанных значениях е н f представляет собой функцию от двух переменных, конечную, непрерывную и дифференцируемую сколько угодно раз.
Применим к этой функции разложение Маклорена по аргументу в, остановленное на члене третьего порядка, используя для остаточного члена не обычную форму Лагранжа, а интегральную 94
гл. xi. краткие сведения о ньютоновом притяжейий
форму, получающуюся при интегрировании по частямБудем иметь
? (», у) =9 (о, у) + юр' (0, ї) + -f - <р" (О, у) +
і
о
где штрихи указывают дифференцирование функции <? по ее первому аргументу 2).
Так как на основании равенства (25)
<р' = — і (1 + є2 — 2еу)~'/г(2s — 2т) = (у — ¦)
и, следовательно,
®" = з (f — е) <?V — ®3 = 3 (у — s)2 <»5 — срЗ,
то при е = О имеем
? (о, у) = 1, <?' (о, у) = у, (0, Tf) = 3f - 1,
откуда следует, что
і 1 ( \ 7 = 7?(». Л) =
і
= ^1+^+4(3^-1)+4/(1-^2^^ т)^}-
о
33. Сравнение с выражением (18) для Ijr показывает, что дополнительный член, обозначенный символом (3), совпадает с последним слагаемым в скобках, что можно было предвидеть, так как разложение по степеням е приводит как раз к разделению членов различных порядков.
Таким образом, мы можем теперь написать выражение для дополнительного члена U* (п. 28), представляющего собой отбраеы-
!) См., например, Dini, Lezioni di Analisi infinitesimale, т. I, Пиза, 1909, стр. 301. В указанном там выражении для остаточного члена надо положить ж == а = 0, п = 2, затем V = те. Тогда получится форма, которой мы здесь воспользовались.
2) Заметим, что коэффициенты — tp(re) (0, ¦/) (п = 1, 2,...) при последовательных степенях е в разложении ^ (е, y) = —г ^ - будут поли-
у і Jr еа_2єу
номами степени и относительно "і, называемыми сферическими функциями (первого рода). § 3. приложенйя
95
ваемую в выражении для потенциала часть (порядка выше второго), а именно
і
С7* = -L J JJ.S® dS J (1 - г)2 І" (те, Т) d-., (26)
